Exercício 10 (E.M.3.16)
Mostre que não é verdade que X subset Y implica que partial X subset partial Y. Entretanto, mostre que partial(int(X)) subset partial X.

Passo 1

Estamos em topologia geral: dados conjuntos X,Y num espaço topológico, denotamos por int(A) o interior de A, por A o fecho de A e por
partial A ;=;A;setminus;int(A)
a fronteira de A. A questão pede dois itens: (i) dar um contraexemplo mostrando que Xsubset Y não implica partial Xsubsetpartial Y e (ii) provar que sempre partial(intX)subsetpartial X.

Passo 2

Contraexemplo em R com a topologia usual. Seja
X=(0,1), Y=(0,2)
Então claramente Xsubset Y. Temos
partial X = 0,1, partial Y = 0,2
Como 1inpartial X mas 1notinpartial Y, segue partial Xnotsubsetpartial Y.

Passo 3

Agora provamos partial(intX)subsetpartial X. Defina U=intX. Pelas definições,
partial(U) =U;setminus;U, partial X =X;setminus;intX
Mas U=intXsubset X implica
UsubsetX,
e obviamente U=intX. Então, se xinpartial(U) temos xinUsubsetX e xnotin U=intX. Logo
xinXsetminusintX ;=;partial X
Portanto partial(intX)subsetpartial X.

Resposta

Mostramos o contraexemplo X=(0,1)subset Y=(0,2) em que partial X=0,1notsubset0,2=partial Y. Em seguida, usando partial A=AsetminusintA e intXsubset X, concluímos
partial(intX)subsetpartial X

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