Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral1^infty x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
integral1^inftyx(1+x^2)^2,dx
e, caso ela convirja, calcular seu valor. Aqui vamos usar definição de integral imprópria no infinito (como limite) e encontrar uma antiderivada por substituição.

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite de uma integral de limites finitos:
integral1^inftyx(1+x^2)^2,dx = limbtoinftyintegral1^bx(1+x^2)^2,dx

Passo 3

Para achar uma antiderivada de x(1+x^2)^2, fazemos u=1+x^2, de modo que du=2x,dx, isto é, x,dx=tfrac12du. Assim,
integralx(1+x^2)^2,dx = integral1u^2cdot12,du = 12integral u^-2du = 12cdotl(-u^-1r)+C = -12(1+x^2)+C

Passo 4

Usando essa antiderivada no comportamento de btoinfty:
limbtoinftyl[-12(1+x^2)r]1^b = limbtoinftyl(-12(1+b^2)+12(1+1^2)r) = 0 + 12cdot2 = 14
Como o limite existe e é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 14.

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