Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
e, caso ela convirja, calcular seu valor. Aqui vamos usar definição de integral imprópria no infinito (como limite) e encontrar uma antiderivada por substituição.
Passo 2
Escrevemos a integral imprópria como limite de uma integral de limites finitos:
Passo 3
Para achar uma antiderivada de
, fazemos
, de modo que
, isto é,
. Assim,
Passo 4
Usando essa antiderivada no comportamento de
:
Como o limite existe e é finito, a integral converge.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.