Demonstre que o produto e inversas de matrizes ortogonais são ortogonais. (Desse modo, as matrizes ortogonais formam um grupo multiplicativo chamado grupo ortogonal).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são matrizes ortogonais (isto é, satisfazem A^T A = I e B^T B = I), então
  1. o produto AB também é ortogonal;
  2. a inversa A^-1 de uma matriz ortogonal A é ortogonal.
    Vamos usar propriedades básicas de transposição e inversão de matrizes.

Passo 2

Demonstração de que o produto de ortogonais é ortogonal.
Sejam A e B matrizes ortogonais, ou seja,
A^T A = I e B^T B = I
Então
(AB)^T(AB) = (B^T A^T)(A B) = B^Tl(A^T Ar)B = B^T I,B = B^T B = I
Como (AB)^T(AB)=I, a matriz AB é ortogonal.

Passo 3

Demonstração de que a inversa de ortogonal é ortogonal.
Se A é ortogonal, então
A^T A = I
implica que A^T = A^-1. Agora consideremos A^-1. Queremos ver que
l(A^-1r)^T l(A^-1r) = I
Mas l(A^-1r)^T = (A^T)^-1 = (A^-1)^T, de modo que
l(A^-1r)^T l(A^-1r) = A,A^T = I
pois A é ortogonal. Logo A^-1 é ortogonal.

Resposta

Mostramos que se A e B são ortogonais então AB é ortogonal, e que a inversa de A também é ortogonal. Assim, as matrizes ortogonais formam um grupo multiplicativo (o grupo ortogonal).

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