Demonstre que o produto e inversas de matrizes ortogonais são ortogonais. (Desse modo, as matrizes ortogonais formam um grupo multiplicativo chamado grupo ortogonal).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são matrizes ortogonais (isto é, satisfazem
e
), então
- o produto
também é ortogonal; - a inversa
de uma matriz ortogonal é ortogonal.
Vamos usar propriedades básicas de transposição e inversão de matrizes.
Passo 2
Demonstração de que o produto de ortogonais é ortogonal.
Sejam e
matrizes ortogonais, ou seja,
Sejam
Então
Como
, a matriz
é ortogonal.
Passo 3
Demonstração de que a inversa de ortogonal é ortogonal.
Se é ortogonal, então
Se
implica que
. Agora consideremos
. Queremos ver que
Mas
, de modo que
pois
é ortogonal. Logo
é ortogonal.
Resposta
Mostramos que se
e
são ortogonais então
é ortogonal, e que a inversa de
também é ortogonal. Assim, as matrizes ortogonais formam um grupo multiplicativo (o grupo ortogonal).