Seja V o espaço vetorial dos polinômios sobre R com produto interno definido por lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t. Seja D o operador derivada, isto é, D(f)=d f / d t. Mostre que não existe um operador D^* em V tal que lang<= D(f), grang<==lang<= f, D^*(g)rang<= para quaisquer f, g in V. Isto é, D não tem adjunto.

Passo 1

O enunciado considera o espaço V dos polinômios reais com produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
e o operador derivada Dcolon Vto V dado por D(f)=f'. Queremos mostrar que não existe operador D^*colon Vto V tal que, para todo f,gin V,
lang<= D(f),grang<= ;=;lang<= f,D^*(g)rang<=
O conteúdo é adjunto de operador em espaço com produto interno e usaremos integração por partes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um operador D^* em V satisfazendo
integral0^1f'(t),g(t),dt ;=;integral0^1f(t),l(D^*(g)r)(t),dt para todo f,gin V

Passo 3

Fazemos integração por partes na integral à esquerda: para polinômios f,g,
integral0^1f'(t),g(t),dt =l[f(t)g(t)r]0^1 -integral0^1f(t),g'(t),dt =f(1)g(1)-f(0)g(0) -integral0^1f(t),g'(t),dt

Passo 4

Igualando à expressão de lang<= f,D^*(g)rang<=, obtemos
f(1)g(1)-f(0)g(0) -integral0^1f(t),g'(t),dt =integral0^1f(t),l(D^*(g)r)(t),dt
Reagrupando,
integral0^1f(t)l(D^*(g)(t)+g'(t)r),dt =f(1)g(1)-f(0)g(0)
Se restringirmos a f tais que f(0)=f(1)=0, o lado direito some e ficamos com
integral0^1f(t)l(D^*(g)(t)+g'(t)r),dt=0 forall f com f(0)=f(1)=0
Como há muitos polinômios que se anulam em 0 e 1, isso força
D^*(g)(t)=-g'(t) para todo t

Passo 5

Mas então a condição original passa a exigir, para quaisquer f,g,
integral0^1f'(t),g(t),dt =integral0^1f(t),l(-g'(t)r),dt,
isto é, pela integração por partes,
f(1)g(1)-f(0)g(0)=0 para todo par de polinômios f,g ô
Isso é absurdo, pois posso escolher, por exemplo, f(t)=1 e g(t)=t+1 e obter
f(1)g(1)-f(0)g(0)=1cdot2 -1cdot1=1neq0
Logo não existe operador D^* em V que satisfaça lang<= D(f),grang<==lang<= f,D^*(g)rang<=.

Resposta

Não existe adjunto D^* para o operador derivada em V.

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