Seja
o espaço vetorial dos polinômios sobre
com produto interno definido por
. Seja
o operador derivada, isto é,
. Mostre que não existe um operador
em
tal que
para quaisquer
. Isto é,
não tem adjunto.
Passo 1
O enunciado considera o espaço
dos polinômios reais com produto interno
e o operador derivada
dado por
. Queremos mostrar que não existe operador
tal que, para todo
,
O conteúdo é adjunto de operador em espaço com produto interno e usaremos integração por partes.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um operador
em
satisfazendo
Passo 3
Fazemos integração por partes na integral à esquerda: para polinômios
,
Passo 4
Igualando à expressão de
, obtemos
Reagrupando,
Se restringirmos a
tais que
, o lado direito some e ficamos com
Como há muitos polinômios que se anulam em
e
, isso força
Passo 5
Mas então a condição original passa a exigir, para quaisquer
,
isto é, pela integração por partes,
Isso é absurdo, pois posso escolher, por exemplo,
e
e obter
Logo não existe operador
em
que satisfaça
.
Resposta
Não existe adjunto
para o operador derivada em
.