Suponhamos que P é positivo e unitário. Prove que P=I.
25. Diz-se que uma matriz n times n (real ou complexa) A=(ai j) é positiva, se A encarada como um operador linear em K^n for positiva. (Analogamente, se define uma matriz definida positiva.) Demonstre que A é positiva (definida positiva) se, e somente se, ai j=barai j e
sumi, j=1^n ai j xi barxj >= 0 (>0)
para quaisquer (x1, cdots, xn) em K^n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, toda matriz P que seja simultaneamente positiva e unitária satisfaz P=I. Para isso vamos usar como ferramenta a caracterização de matrizes positivas (parte do exercício 25):
  1. Uma matriz Ain Mn( K) é positiva se, e somente se, ela é hermitiana ( aij=aji) e
sumi,j=1^n aij,xixj;>=0
para todo vetor x=(x1,dots,xn).

Passo 2

(“Somente se”) Suponha A positiva como operador em K^n. Então, por definição de operador positivo,
lang<= Ax,xrang<=;>=0 forall,xin K^n
Escolhendo as bases canônicas, escreve-se
lang<= Ax,xrang<= =sumi,j=1^n aij,xixj;>=0
Além disso, operador positivo é, em particular, hermitiano, ou seja A^*=A. Isso implica aij=aji.

Passo 3

(“Se”) Agora suponha que A seja hermitiana e que
sumi,j=1^n aij,xixj;>=0 forall,x
Então, novamente na base canônica, lang<= Ax,xrang<==sum aijxixj>=0, o que significa que A é operador positivo.

Passo 4

Voltando a P: como P é positiva, pelo passo 2 temos
P^*=P
Como P também é unitária, vale
P^*P=I Longrightarrow P,P=I Longrightarrow P^2=I

Passo 5

Uma matriz hermitiana é diagonalizável em base ortonormal, com autovalores reais. Da relação P^2=I segue que todo autovalor lambda de P satisfaz lambda^2=1, isto é, lambda=pm1. Mas como P é positiva, para qualquer autovetor unitário v temos
lang<= Pv,vrang<= =lambda,lang<= v,vrang<= =lambda>=0
logo lambda>=0. Daí só resta lambda=1. Como todos os autovalores são 1, a diagonal de P na base ortonormal é toda 1 e P=I.

Resposta

P=I.
E, de modo geral, uma matriz A é positiva (definida positiva) se, e somente se, A=A^* (ou seja, aij=aji) e
sumi,j=1^n aij,xixj;>=0 l(>0r)
para todo vetor xneq0.

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