Suponhamos que é positivo e unitário. Prove que .
25. Diz-se que uma matriz (real ou complexa) é positiva, se encarada como um operador linear em for positiva. (Analogamente, se define uma matriz definida positiva.) Demonstre que é positiva (definida positiva) se, e somente se,
para quaisquer em .
Passo 1
O enunciado pede para provar que, toda matriz que seja simultaneamente positiva e unitária satisfaz . Para isso vamos usar como ferramenta a caracterização de matrizes positivas (parte do exercício 25):
Uma matriz é positiva se, e somente se, ela é hermitiana () e
sumi,j=1^n aij,xixj;>=0
para todo vetor x=(x1,dots,xn).
Passo 2
(“Somente se”) Suponha A positiva como operador em K^n. Então, por definição de operador positivo,
lang<= Ax,xrang<=;>=0 forall,xin K^n
Escolhendo as bases canônicas, escreve-se
lang<= Ax,xrang<= =sumi,j=1^n aij,xixj;>=0
Além disso, operador positivo é, em particular, hermitiano, ou seja A^*=A. Isso implica aij=aji.
Passo 3
(“Se”) Agora suponha que A seja hermitiana e que
sumi,j=1^n aij,xixj;>=0 forall,x
Então, novamente na base canônica, lang<= Ax,xrang<==sum aijxixj>=0, o que significa que A é operador positivo.
Passo 4
Voltando a P: como P é positiva, pelo passo 2 temos
P^*=P
Como P também é unitária, vale
P^*P=I Longrightarrow P,P=I Longrightarrow P^2=I
Passo 5
Uma matriz hermitiana é diagonalizável em base ortonormal, com autovalores reais. Da relação P^2=I segue que todo autovalor lambda de P satisfaz lambda^2=1, isto é, lambda=pm1. Mas como P é positiva, para qualquer autovetor unitário v temos