Mostre T^* T=0 implica que T=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço de Hilbert, se um operador linear e contínuo T satisfaz
T^*T = 0,
então necessariamente T=0. Vamos usar a propriedade fundamental do adjunto de operador, que é
lang<= T x,,T xrang<= = lang<= T^*T x,,xrang<=,
além da definição de norma induzida pelo produto interno.

Passo 2

Seja x um vetor arbitrário do espaço. Então
|T x|^2 = lang<= T x,,T xrang<= = lang<= T^*T x,,xrang<=
Como T^*T=0, temos T^*T x=0 para todo x. Logo
|T x|^2 = lang<= 0,,xrang<= = 0
o que implica
|T x| = 0 Longrightarrow T x = 0

Passo 3

Como T x=0 para todo vetor x, concluímos que o operador T é o operador nulo.

Resposta

T=0

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