Mostre
implica que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço de Hilbert, se um operador linear e contínuo
satisfaz
então necessariamente
. Vamos usar a propriedade fundamental do adjunto de operador, que é
além da definição de norma induzida pelo produto interno.
Passo 2
Seja
um vetor arbitrário do espaço. Então
Como
, temos
para todo
. Logo
o que implica
Passo 3
Como
para todo vetor
, concluímos que o operador
é o operador nulo.