Demonstre as propriedades da adição, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
Comutatividade: m+n=n+m

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos a propriedade comutativa da adição para números naturais, ou seja, que valha
\forall m,n\in\mathbb{N},\quad m+n = n+m.
Informações dadas: m,n,p\in\mathbb{N} (o p não será necessário aqui). A resolução pedida é uma demonstração válida para quaisquer naturais m e n.

Passo 2

Antes de começar a prova, precisamos combinar qual definição de adição vamos usar e lembrar o princípio da indução (vou explicar bem devagar, como um amigo).
Definição recursiva da adição (a forma padrão baseada em sucessor):
\text{(D1) } \forall a\in\mathbb{N},\quad a+0 = a.
\text{(D2) } \forall a,b\in\mathbb{N},\quad a+S(b) = S(a+b),
onde S(b) é o sucessor de b (ou seja, S(b)=b+1; por exemplo, S(0)=1, S(1)=2, etc.). Essas duas regras dizem: somar zero não altera o número; somar o sucessor de b equivale a dar um sucessor ao resultado de somar a com b.
Princípio da indução (ideia): para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}, fazemos duas etapas:
  • Base: mostramos P(0).
  • Passo indutivo: assumimos P(k) (hipótese indutiva) e provamos P(S(k)).
    Se ambos valem, então P(n) vale para todo n.
Estratégia para provar a comutatividade: vamos provar por indução em n que \forall m,\; m+n = n+m. Para isso, precisaremos de dois lemas auxiliares que consigo provar com indução simples também:
  • Lema A: \forall a,\; 0+a = a.
  • Lema B: \forall a,b,\; S(a)+b = S(a+b).
Vou provar esses lemas antes de fazer a indução principal.

Passo 3

Prova do Lema A: \forall a\in\mathbb{N},\; 0+a = a.
Faremos indução em a.
Base ( a=0): pela definição (D1), 0+0 = 0. Então vale para a=0.
Passo indutivo: suponha que para algum k vale 0+k = k. Queremos mostrar 0+S(k) = S(k).
Usamos (D2):
0+S(k) = S(0+k).
Pela hipótese indutiva 0+k = k, então
0+S(k) = S(k).
Isso fecha o passo indutivo. Logo, por indução, \forall a,\; 0+a = a. (Exemplo numérico: 0+2 = S(0+1)=S(1)=2.)

Passo 4

Prova do Lema B: \forall a,b\in\mathbb{N},\; S(a)+b = S(a+b).
Faremos indução em b (para a arbitrário, fixo).
Base ( b=0): pela definição (D1),
S(a)+0 = S(a).
Também a+0 = a por (D1), então S(a+0)=S(a). Portanto S(a)+0 = S(a+0), que é a igualdade desejada para b=0.
Passo indutivo: suponha que para algum k vale S(a)+k = S(a+k). Queremos mostrar S(a)+S(k) = S(a+S(k)).
Aplicando (D2) à soma com segundo termo S(k), obtemos
S(a)+S(k) = S(S(a)+k).
Pela hipótese indutiva S(a)+k = S(a+k), então
S(a)+S(k) = S(S(a+k)).
Por outro lado, pela definição (D2) aplicada a a+S(k) temos a+S(k)=S(a+k), e portanto
S(a+S(k)) = S(S(a+k)).
Assim
S(a)+S(k) = S(S(a+k)) = S(a+S(k)).
Isso fecha o passo indutivo. Logo, por indução em b, vale \forall a,b,\; S(a)+b = S(a+b).

Passo 5

Prova da comutatividade \forall m,n\in\mathbb{N},\; m+n = n+m por indução em n.
Base ( n=0): temos, pela definição (D1), m+0 = m. Pelo Lema A, 0+m = m. Então
m+0 = m = 0+m,
logo a propriedade vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que, para algum k, valha
\forall m\in\mathbb{N},\quad m+k = k+m.
Queremos mostrar \forall m,\; m+S(k) = S(k)+m.
Tomemos um m qualquer. Começamos calculando m+S(k). Pela definição (D2),
m+S(k) = S(m+k).
Pela hipótese indutiva temos m+k = k+m, então
m+S(k) = S(k+m).
Agora aplicamos o Lema B (com a=k e b=m), que diz S(k)+m = S(k+m). Portanto
m+S(k) = S(k+m) = S(k)+m.
Isso mostra que, para esse m arbitrário, m+S(k)=S(k)+m. Como m era arbitrário, concluímos \forall m,\; m+S(k)=S(k)+m. Assim o passo indutivo está fechado.
Pelo princípio da indução, a igualdade vale para todo n: \forall m,n\in\mathbb{N},\; m+n = n+m.

Passo 6

Resumo e dica prática para prova: a ideia é usar a definição recursiva da adição e indução no segundo argumento. Dois lemas simples (que provamos) resolvem as dificuldades: mover o zero para a direita ( 0+a=a) e tratar sucessor à esquerda ( S(a)+b=S(a+b)). Em prova de prova curta na hora do exame, faça exatamente essa estrutura: provar os lemas rapidamente por indução e depois a indução principal. Você consegue — respira fundo e escreve os passos com calma!

Resposta

\forall m,n\in\mathbb{N},\quad m+n = n+m.

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