Demonstre as propriedades da adição,
.
Associatividade:
Associatividade:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade da associatividade da adição para números naturais: mostrar que, para quaisquer
,
Informações dadas/necessárias para a prova: os símbolos
representam naturais arbitrários e a igualdade acima deve valer para todos eles. A prova exigirá usar a definição recursiva da adição em
e o princípio da indução matemática.
Passo 2
Definição recursiva da adição (forma padrão baseada nos axiomas de Peano). Vou explicar devagar porque isso é a base da prova:
onde
denota o sucessor de
(isto é,
na notação familiar). Essas duas regras dizem: adicionar zero não muda o número, e para adicionar o sucessor de
basta adicionar
e então tomar o sucessor do resultado. Essas são as regras que usamos para calcular soma de naturais de forma rigorosa.]
Passo 3
Princípio da indução matemática (explicado como aula rápida): para provar que uma propriedade
vale para todo
usamos dois passos:
- Base: mostrar
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e mostrar que disso segue .
Se esses dois passos são feitos, entãovale para todo . Aqui vamos aplicar indução sobre o parâmetro .
Passo 4
Escolhemos a propriedade a provar por indução:
onde
e
são fixos, arbitrários, e a indução será em
.
Passo 5
Mostramos
. Calculemos ambos os lados usando a definição (D1):
Como os dois lados são iguais a
, temos
. Logo
é verdadeira.]
Passo 6
Suponha que para um
arbitrário já provemos
, ou seja, suponha que
Isto é a nossa hipótese de indução. Vou usar isso no passo seguinte.
Passo 7
Precisamos provar
, isto é:
Usamos a definição (D2) duas vezes. Primeiro observe que
Então o lado esquerdo fica
Agora aplicamos (D2) à soma
:
Para o lado direito, aplicando (D2) à soma
, obtemos
Portanto a igualdade que queremos reduzir é
Pelo que assumimos na hipótese de indução temos
. Aplicando a função sucessor
aos dois membros iguais preserva a igualdade, logo
Assim concluímos que
, isto é,
é verdadeira.
Passo 8
Pelo princípio da indução, como provamos
e mostramos que
, segue que
é verdadeira para todo
. Como
e
eram arbitrários, a igualdade vale para todos
. Assim a associatividade da adição está demonstrada.
Passo 9
Para deixar concreto, um exemplo: tome
,
,
. Então
e
ambos dão
, o que ilustra a associatividade na prática.