Demonstre as propriedades da adição,
.
Comutatividade:
Comutatividade:
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos a propriedade comutativa da adição para números naturais, ou seja, que valha
Informações dadas:
(o
não será necessário aqui). A resolução pedida é uma demonstração válida para quaisquer naturais
e
.
Passo 2
Antes de começar a prova, precisamos combinar qual definição de adição vamos usar e lembrar o princípio da indução (vou explicar bem devagar, como um amigo).
Definição recursiva da adição (a forma padrão baseada em sucessor):
onde
é o sucessor de
(ou seja,
; por exemplo,
,
, etc.). Essas duas regras dizem: somar zero não altera o número; somar o sucessor de
equivale a dar um sucessor ao resultado de somar
com
.
Princípio da indução (ideia): para provar que uma propriedade
vale para todo
, fazemos duas etapas:
- Base: mostramos
. - Passo indutivo: assumimos
(hipótese indutiva) e provamos .
Se ambos valem, entãovale para todo .
Estratégia para provar a comutatividade: vamos provar por indução em
que
. Para isso, precisaremos de dois lemas auxiliares que consigo provar com indução simples também:
- Lema A:
. - Lema B:
.
Vou provar esses lemas antes de fazer a indução principal.
Passo 3
Prova do Lema A:
.
Faremos indução em
.
Base (
): pela definição (D1),
. Então vale para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
vale
. Queremos mostrar
.
Usamos (D2):
Usamos (D2):
Pela hipótese indutiva
, então
Isso fecha o passo indutivo. Logo, por indução,
. (Exemplo numérico:
.)
Passo 4
Prova do Lema B:
.
Faremos indução em
(para
arbitrário, fixo).
Base (
): pela definição (D1),
Também
por (D1), então
. Portanto
, que é a igualdade desejada para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
vale
. Queremos mostrar
.
Aplicando (D2) à soma com segundo termo , obtemos
Aplicando (D2) à soma com segundo termo
Pela hipótese indutiva
, então
Por outro lado, pela definição (D2) aplicada a
temos
, e portanto
Assim
Isso fecha o passo indutivo. Logo, por indução em
, vale
.
Passo 5
Prova da comutatividade
por indução em
.
Base (
): temos, pela definição (D1),
. Pelo Lema A,
. Então
logo a propriedade vale para
.
Passo indutivo: suponha que, para algum
, valha
Queremos mostrar
.
Tomemos um
qualquer. Começamos calculando
. Pela definição (D2),
Pela hipótese indutiva temos
, então
Agora aplicamos o Lema B (com
e
), que diz
. Portanto
Isso mostra que, para esse
arbitrário,
. Como
era arbitrário, concluímos
. Assim o passo indutivo está fechado.
Pelo princípio da indução, a igualdade vale para todo
:
.
Passo 6
Resumo e dica prática para prova: a ideia é usar a definição recursiva da adição e indução no segundo argumento. Dois lemas simples (que provamos) resolvem as dificuldades: mover o zero para a direita (
) e tratar sucessor à esquerda (
). Em prova de prova curta na hora do exame, faça exatamente essa estrutura: provar os lemas rapidamente por indução e depois a indução principal. Você consegue — respira fundo e escreve os passos com calma!