Expresse z_{1}=-14+14 i na forma polar.
Expresse a resposta em termos exatos, usando graus, de forma que seu ângulo esteja no intervalo inclusivo de 0^{\circ} e 360^{\circ}.
z_{1}=\square+\overline{\overline{+}}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número complexo z_{1}=-14+14i na forma polar, em termos exatos, usando graus, com o ângulo no intervalo [0^\circ,360^\circ].
Informações dadas:
  • Parte real: \operatorname{Re}(z_{1})=-14.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}(z_{1})=14.

Passo 2

O que é a forma polar de um número complexo?
Existem duas formas equivalentes muito usadas:
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
e
z = r e^{i\theta},
onde:
  • r é o módulo (distância do ponto à origem) e é calculado por r=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}}.
  • \theta é o argumento (ângulo), medido em graus aqui, que satisfaz \tan\theta=\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}, mas atenção: essa fórmula dá apenas um ângulo de referência; é preciso ajustar de acordo com o quadrante onde o ponto (\operatorname{Re}(z),\operatorname{Im}(z)) está.

Passo 3

Calcular o módulo r:
r=\sqrt{(-14)^{2}+14^{2}}=\sqrt{196+196}=\sqrt{392}=\sqrt{196\cdot2}=14\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Primeiro a tangente de referência:
\left|\tan\theta_{\text{ref}}\right|=\left|\frac{14}{-14}\right|=1\quad\Rightarrow\quad \theta_{\text{ref}}=45^\circ.
Agora determinar o quadrante: \operatorname{Re}(z)=-14<0 e \operatorname{Im}(z)=14>0, portanto o ponto está no segundo quadrante. No segundo quadrante o ângulo medido a partir de 0^\circ é
\theta=180^\circ-\theta_{\text{ref}}=180^\circ-45^\circ=135^\circ.
Isso está dentro do intervalo exigido [0^\circ,360^\circ].

Passo 5

Montar a forma polar usando os valores obtidos. Podemos também verificar os valores das funções trigonométricas no ângulo encontrado:
\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando:
14\sqrt{2}\cos 135^\circ=14\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-14, \qquad 14\sqrt{2}\sin 135^\circ=14\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=14,
o que confirma que a forma polar está correta.

Resposta

z_{1}=14\sqrt{2}\bigl(\cos 135^\circ + i\sin 135^\circ\bigr)
z_{1}=14\sqrt{2}\,e^{i135^\circ}

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