Explique porque a função
definida por
não satisfaz o Teorema de Rolle.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para explicar por que essa função não satisfaz o Teorema de Rolle.
Informações fornecidas:
O que o enunciado quer: justificar por que a aplicação do Teorema de Rolle falha para essa
(isto é, mostrar qual hipótese do teorema não é satisfeita e, se útil, mostrar que a conclusão do teorema também não ocorre).
Passo 2
O enunciado exige que verifiquemos as hipóteses do Teorema de Rolle. Vamos primeiro lembrar (didaticamente) o que o teorema exige e o que ele garante.
Enunciado do Teorema de Rolle (explicado passo a passo):
então existe pelo menos um ponto
tal que
O que significam as hipóteses:
- “Contínua em
” significa que não há saltos ou quebras; para todo o limite existe e é igual a . - “Diferenciável em
” significa que para cada existe a derivada , ou seja, o limite
existe (e é o mesmo vindo pela direita e pela esquerda).
- “
” é a condição de igualdade dos valores nos extremos.
Para aplicar o teorema devemos checar essas três hipóteses para
e
.
Passo 3
Verificar a condição
.
Calculemos:
Portanto
ou seja, a hipótese
está satisfeita.
Passo 4
Verificar continuidade de
em
.
Observação sobre
: a função valor absoluto é contínua em todo
, e composições e translações preservam continuidade. Mas, para ficar bem concreto (como você pediu), vamos escrever
de forma piecewise (por partes):
Para
, temos
, então
. Assim
Para
, temos
, então
. Assim
Verificação em
: ambas as fórmulas dão
. Logo a definição por partes bate em
e não há salto. As duas expressões
e
são funções lineares (portanto contínuas) nas suas respectivas regiões. Como coincidem em
,
é contínua em todo
.
Conclusão: a hipótese de continuidade em
também está satisfeita.
Passo 5
Verificar diferenciabilidade de
em
.
Como já escrevemos
por partes, derivamos em cada parte (lembrando que derivada de
é
e derivada de
é
):
Para
:
Para
:
Agora resta verificar se
é diferenciável em
. Diferenciabilidade em um ponto exige que as derivadas laterais (esquerda e direita) coincidam. Calculamos as derivadas laterais em
:
- Derivada à esquerda em
: é o limite das diferenças quocientes com . Mas como para temos , a derivada à esquerda vale . - Derivada à direita em
: para temos , a derivada à direita vale .
Como
, as derivadas laterais em
não coincidem, logo
não é diferenciável em
.
Portanto
não é diferenciável em todo o intervalo aberto
(há pelo menos um ponto,
, onde a derivada não existe).
Passo 6
Interpretação e conclusão final.
O Teorema de Rolle exige diferenciabilidade em todo
. Aqui essa hipótese falha porque
não é diferenciável em
. Logo não podemos aplicar o Teorema de Rolle para garantir a existência de um
com
.
Complemento útil (para entender o que acontece na prática): nas regiões onde a derivada existe, ela é sempre
(para
) ou
(para
). Não existe ponto interior onde
. Isso explica concretamente por que a conclusão do teorema (existência de
com
) também não ocorre — mas isso não contradiz o teorema, pois uma hipótese (diferenciabilidade em todo o intervalo aberto) não foi satisfeita.
Resposta
A função satisfaz
e é contínua em
, mas não é diferenciável em
(as derivadas laterais são
e
), portanto a hipótese de diferenciabilidade em
do Teorema de Rolle não é satisfeita; por isso o Teorema de Rolle não se aplica.