Explique porque a função f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1-|1-x| não satisfaz o Teorema de Rolle.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f:[0,2]\to\mathbb{R}\, definida por \,f(x)=1-|1-x|\, e pede para explicar por que essa função não satisfaz o Teorema de Rolle.
Informações fornecidas:
\text{domínio: }[0,2],\qquad f(x)=1-|1-x|.í
O que o enunciado quer: justificar por que a aplicação do Teorema de Rolle falha para essa f (isto é, mostrar qual hipótese do teorema não é satisfeita e, se útil, mostrar que a conclusão do teorema também não ocorre).

Passo 2

O enunciado exige que verifiquemos as hipóteses do Teorema de Rolle. Vamos primeiro lembrar (didaticamente) o que o teorema exige e o que ele garante.
Enunciado do Teorema de Rolle (explicado passo a passo):
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b],\quad f\text{ é diferenciável em }(a,b),\quad\text{e }f(a)=f(b),éíéá
então existe pelo menos um ponto \,c\in(a,b)\, tal que
f'\text{(c)}=0.
O que significam as hipóteses:
  • “Contínua em [a,b]” significa que não há saltos ou quebras; para todo x_0\in[a,b] o limite \lim_{x\to x_0}f(x) existe e é igual a f(x_0).
  • “Diferenciável em (a,b)” significa que para cada x_0\in(a,b) existe a derivada f'(x_0), ou seja, o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
existe (e é o mesmo vindo pela direita e pela esquerda).
  • f(a)=f(b)” é a condição de igualdade dos valores nos extremos.
Para aplicar o teorema devemos checar essas três hipóteses para a=0 e b=2.

Passo 3

Verificar a condição f(0)=f(2).
Calculemos:
f(0)=1-|1-0|=1-|1|=1-1=0,
f(2)=1-|1-2|=1-|{-1}|=1-1=0.
Portanto
f(0)=0=f(2),
ou seja, a hipótese f(a)=f(b) está satisfeita.

Passo 4

Verificar continuidade de f em [0,2].
Observação sobre |1-x|: a função valor absoluto é contínua em todo \mathbb{R}, e composições e translações preservam continuidade. Mas, para ficar bem concreto (como você pediu), vamos escrever f de forma piecewise (por partes):
Para \,0\le x\le1, temos 1-x\ge0, então |1-x|=1-x. Assim
f(x)=1-(1-x)=x\quad\text{para }0\le x\le1.
Para \,1\le x\le2, temos 1-x\le0, então |1-x|=x-1. Assim
f(x)=1-(x-1)=2-x\quad\text{para }1\le x\le2.
Verificação em x=1: ambas as fórmulas dão f(1)=1. Logo a definição por partes bate em x=1 e não há salto. As duas expressões x e 2-x são funções lineares (portanto contínuas) nas suas respectivas regiões. Como coincidem em x=1, f é contínua em todo [0,2].
Conclusão: a hipótese de continuidade em [0,2] também está satisfeita.

Passo 5

Verificar diferenciabilidade de f em (0,2).
Como já escrevemos f por partes, derivamos em cada parte (lembrando que derivada de x é 1 e derivada de 2-x é -1):
Para 0<x<1:
f(x)=x \implies f'(x)=1.
Para 1<x<2:
f(x)=2-x \implies f'(x)=-1.
Agora resta verificar se f é diferenciável em x=1. Diferenciabilidade em um ponto exige que as derivadas laterais (esquerda e direita) coincidam. Calculamos as derivadas laterais em x=1:
  • Derivada à esquerda em x=1: é o limite das diferenças quocientes com h\to0^-. Mas como para x<1 temos f(x)=x, a derivada à esquerda vale 1.
  • Derivada à direita em x=1: para x>1 temos f(x)=2-x, a derivada à direita vale -1.
Como 1\neq -1, as derivadas laterais em x=1 não coincidem, logo f não é diferenciável em x=1.
Portanto f não é diferenciável em todo o intervalo aberto (0,2) (há pelo menos um ponto, x=1, onde a derivada não existe).

Passo 6

Interpretação e conclusão final.
O Teorema de Rolle exige diferenciabilidade em todo (a,b). Aqui essa hipótese falha porque f não é diferenciável em \,x=1\in(0,2). Logo não podemos aplicar o Teorema de Rolle para garantir a existência de um c\in(0,2) com f'\text{(c)}=0.
Complemento útil (para entender o que acontece na prática): nas regiões onde a derivada existe, ela é sempre 1 (para 0<x<1) ou -1 (para 1<x<2). Não existe ponto interior onde f'(x)=0. Isso explica concretamente por que a conclusão do teorema (existência de c com f'\text{(c)}=0) também não ocorre — mas isso não contradiz o teorema, pois uma hipótese (diferenciabilidade em todo o intervalo aberto) não foi satisfeita.

Resposta

A função satisfaz f(0)=f(2)=0 e é contínua em [0,2], mas não é diferenciável em x=1 (as derivadas laterais são 1 e -1), portanto a hipótese de diferenciabilidade em (0,2) do Teorema de Rolle não é satisfeita; por isso o Teorema de Rolle não se aplica.

Exercícios relacionados