Demonstre que para qualquer número real x se tem:
-|x| <= x<|x|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um real x, vale sempre
-|x|;<=;x;<=;|x|
Aqui o conteúdo principal é a definição de valor absoluto e um argumento por casos.

Passo 2

Lembrando a definição de valor absoluto: para cada real x,
|x| = x, & se x >= 0, -,x, & se x<0

Passo 3

Caso x>=0: então |x|=x. As desigualdades viram
-|x| = -x <= x e x <= |x| = x
A segunda é trivial ( x<= x) e a primeira é -x<= xiff 0<= 2x, que é verdade pois x>=0.

Passo 4

Caso x<0: então |x|=-x. As desigualdades ficam
-|x| = -(-x)=x <= x e x <= |x| = -x
De novo x<= x é trivial, e x<= -xiff 2x<=0 é verdade pois x<0.

Resposta

-|x|;<=;x;<=;|x|

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