Demonstre que para qualquer número real
se tem:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um real
, vale sempre
Aqui o conteúdo principal é a definição de valor absoluto e um argumento por casos.
Passo 2
Lembrando a definição de valor absoluto: para cada real
,
Passo 3
Caso
x>=0 : então
|x|=x . As desigualdades viram
A segunda é trivial (
x<= x ) e a primeira é
-x<= xiff 0<= 2x , que é verdade pois
x>=0 .
Passo 4
Caso
x<0 : então
|x|=-x . As desigualdades ficam
De novo
x<= x é trivial, e
x<= -xiff 2x<=0 é verdade pois
x<0 .