Questão 5. (Extra - 1,0 pontos) Seja u=(1,1). Determine as coordenadas de um vetor v, de módulo 2, e que faz um ângulo de 45^circ com o vetor u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem o vetor u = (1, 1) e queremos encontrar um vetor v que tenha módulo 2 e forme um ângulo de 45^circ com o vetor u. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e módulo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores u = (ux, uy) e v = (vx, vy) é dado por:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy
E o módulo de um vetor v = (vx, vy) é:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Além disso, o ângulo theta entre os vetores pode ser encontrado pela fórmula:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)

Passo 3

Vamos calcular o módulo do vetor u:
|u| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Sabemos que o módulo do vetor v é 2 e o ângulo theta é 45^circ. Substituindo esses valores na fórmula do produto escalar:
u cdot v = raiz2 cdot 2 cdot cos(45^circ)
Como cos(45^circ) = raiz22:
u cdot v = raiz2 cdot 2 cdot raiz22 = 2

Passo 4

Agora, usando a definição do produto escalar:
u cdot v = 1 cdot vx + 1 cdot vy = vx + vy = 2
Então, temos a primeira equação:
vx + vy = 2 (1)

Passo 5

Também sabemos que o módulo de v é 2:
|v| = raizvx^2 + vy^2 = 2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
vx^2 + vy^2 = 4 (2)

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
vx + vy = 2 vx^2 + vy^2 = 4
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar vy em função de vx:
vy = 2 - vx

Passo 7

Substituindo vy = 2 - vx na equação (2):
vx^2 + (2 - vx)^2 = 4
Expandindo:
vx^2 + 4 - 4vx + vx^2 = 4
Simplificando:
2vx^2 - 4vx + 4 = 4
2vx^2 - 4vx = 0
vx(2vx - 4) = 0

Passo 8

Resolvendo a equação:
vx = 0 ou 2vx - 4 = 0 Rightarrow vx = 2
Então, temos dois casos:
  1. Se vx = 0, então vy = 2 - 0 = 2. Portanto, v = (0, 2).
  2. Se vx = 2, então vy = 2 - 2 = 0. Portanto, v = (2, 0).

Resposta

As coordenadas do vetor v são (0, 2) e (2, 0).

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