Questão 5. (Extra - 1,0 pontos) Seja
. Determine as coordenadas de um vetor
, de módulo 2, e que faz um ângulo de
com o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem o vetor
e queremos encontrar um vetor
que tenha módulo 2 e forme um ângulo de
com o vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e módulo de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
E o módulo de um vetor
é:
Além disso, o ângulo
entre os vetores pode ser encontrado pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular o módulo do vetor
:
Sabemos que o módulo do vetor
é 2 e o ângulo
é
. Substituindo esses valores na fórmula do produto escalar:
Como
:
Passo 4
Agora, usando a definição do produto escalar:
Então, temos a primeira equação:
Passo 5
Também sabemos que o módulo de
é 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar
em função de
:
Passo 7
Substituindo
na equação (2):
Expandindo:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Então, temos dois casos:
- Se
, então . Portanto, . - Se
, então . Portanto, .
Resposta
As coordenadas do vetor
são
e
.