l T: R^2 R^2 T(x, y)=(2 x+5 y, x+3 y)
Determine [T]^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x + 5y, x + 3y) . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz inversa de T , que a gente denota por [T]^-1 . Para isso, vamos precisar usar noções de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. A transformação T(x, y) = (2x + 5y, x + 3y) pode ser escrita em forma matricial assim:
A = 2 & 5 1 & 3

Passo 3

Para encontrar a matriz inversa A^-1 , precisamos primeiro calcular o determinante da matriz A . O determinante de uma matriz 2 times 2 é dado por:
det(A) = (a cdot d) - (b cdot c)
onde A = a & b c & d . Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = (2 cdot 3) - (5 cdot 1) = 6 - 5 = 1

Passo 4

O determinante det(A) = 1 é diferente de zero, o que significa que a matriz A é invertível. Se o determinante fosse zero, não teríamos uma matriz inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A . Para uma matriz 2 times 2 , a adjunta é simplesmente:
adj(A) = d & -b -c & a
Aplicando os valores da nossa matriz:
adj(A) = 3 & -5 -1 & 2

Passo 6

Finalmente, a matriz inversa A^-1 é dada por:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Como det(A) = 1 :
A^-1 = 1 cdot 3 & -5 -1 & 2 = 3 & -5 -1 & 2

Resposta

A matriz inversa de T é:
[T]^-1 = 3 & -5 -1 & 2

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