Questão 4. (2,0 pontos) Um partícula está animada de um movimento tal que, no instante
, ela se encontra no ponto:
a) (0,5 pontos) Determine sua posição para
.
b) (0,5 pontos) Determine o instante no qual a partícula atinge o ponto
.
c)
pontos) A partícula passa pelo ponto
.
d) (0,5 pontos) Descreva sua trajetória
b) (0,5 pontos) Determine o instante no qual a partícula atinge o ponto
c)
d) (0,5 pontos) Descreva sua trajetória
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do movimento de uma partícula no espaço, onde a posição dela no instante
é dada pelas equações:
Isso está relacionado ao conteúdo de Movimento Uniforme em Duas Dimensões na Física. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a posição da partícula em determinados instantes, encontrar o tempo em que ela atinge um ponto específico, verificar se ela passa por outro ponto e descrever a trajetória dela.
Passo 2
a) Determinar sua posição para
,
e
.
Vamos calcular a posição da partícula substituindo os valores de
nas equações de
e
.
Para
:
Então, a posição é
.
Para
:
Então, a posição é
.
Para
:
Então, a posição é
.
Passo 3
b) Determinar o instante no qual a partícula atinge o ponto
.
Para achar o tempo
em que a partícula está no ponto
, igualamos as equações de
e
a 3 e resolvemos para
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Como encontramos o mesmo valor de
nas duas equações, a partícula atinge o ponto
no instante
.
Passo 4
c) Verificar se a partícula passa pelo ponto
.
Vamos verificar substituindo
e
nas equações de posição para encontrar
.
Para
:
Para
:
Os valores de
não coincidem (
para
e
para
), o que significa que a partícula não passa pelo ponto
no mesmo instante.
Passo 5
d) Descrever sua trajetória.
A trajetória da partícula é o caminho que ela percorre no espaço ao longo do tempo. Dado que
e
são funções lineares de
, a trajetória será uma reta no plano cartesiano.
Podemos encontrar a equação da trajetória eliminando
das equações de
e
:
Substituindo em
:
Então, a equação da trajetória é:
Ou de forma mais simples:
Isso confirma que o caminho da partícula é uma reta com inclinação 0.5 e interceptação em
.
Resposta
a) A posição da partícula é:
- Para
: - Para
: - Para
:
b) A partícula atinge o ponto
no instante
.
c) A partícula não passa pelo ponto
.
d) A trajetória da partícula é uma reta descrita pela equação
.