Questão 4. (2,0 pontos) Um partícula está animada de um movimento tal que, no instante t, ela se encontra no ponto:
x=-1+4 t e y=1+2 t
a) (0,5 pontos) Determine sua posição para t=0, t=12 e t=2.
b) (0,5 pontos) Determine o instante no qual a partícula atinge o ponto (3,3).
c) (0,5 pontos) A partícula passa pelo ponto (7,6).
d) (0,5 pontos) Descreva sua trajetória

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do movimento de uma partícula no espaço, onde a posição dela no instante t é dada pelas equações:
x = -1 + 4t e y = 1 + 2t
Isso está relacionado ao conteúdo de Movimento Uniforme em Duas Dimensões na Física. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a posição da partícula em determinados instantes, encontrar o tempo em que ela atinge um ponto específico, verificar se ela passa por outro ponto e descrever a trajetória dela.

Passo 2

a) Determinar sua posição para t = 0 , t = 12 e t = 2 .
Vamos calcular a posição da partícula substituindo os valores de t nas equações de x e y .
Para t = 0 :
x = -1 + 4(0) = -1
y = 1 + 2(0) = 1
Então, a posição é (-1, 1).
Para t = 12 :
x = -1 + 4(12) = -1 + 2 = 1
y = 1 + 2(12) = 1 + 1 = 2
Então, a posição é (1, 2).
Para t = 2 :
x = -1 + 4(2) = -1 + 8 = 7
y = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5
Então, a posição é (7, 5).

Passo 3

b) Determinar o instante no qual a partícula atinge o ponto (3, 3).
Para achar o tempo t em que a partícula está no ponto (3, 3), igualamos as equações de x e y a 3 e resolvemos para t .
Primeiro, para x :
3 = -1 + 4t implies 4t = 4 implies t = 1
Agora, para y :
3 = 1 + 2t implies 2t = 2 implies t = 1
Como encontramos o mesmo valor de t nas duas equações, a partícula atinge o ponto (3, 3) no instante t = 1 .

Passo 4

c) Verificar se a partícula passa pelo ponto (7, 6).
Vamos verificar substituindo x = 7 e y = 6 nas equações de posição para encontrar t .
Para x :
7 = -1 + 4t implies 4t = 8 implies t = 2
Para y :
6 = 1 + 2t implies 2t = 5 implies t = 2.5
Os valores de t não coincidem ( t = 2 para x e t = 2.5 para y ), o que significa que a partícula não passa pelo ponto (7, 6) no mesmo instante.

Passo 5

d) Descrever sua trajetória.
A trajetória da partícula é o caminho que ela percorre no espaço ao longo do tempo. Dado que x e y são funções lineares de t , a trajetória será uma reta no plano cartesiano.
Podemos encontrar a equação da trajetória eliminando t das equações de x e y :
x = -1 + 4t implies t = x + 14
Substituindo em y :
y = 1 + 2(x + 14) = 1 + x + 12 = x + 32
Então, a equação da trajetória é:
y = 12x + 32
Ou de forma mais simples:
y = 0.5x + 1.5
Isso confirma que o caminho da partícula é uma reta com inclinação 0.5 e interceptação em y = 1.5 .

Resposta

a) A posição da partícula é:
  • Para t = 0 : (-1, 1)
  • Para t = 12 : (1, 2)
  • Para t = 2 : (7, 5)
b) A partícula atinge o ponto (3, 3) no instante t = 1 .
c) A partícula não passa pelo ponto (7, 6).
d) A trajetória da partícula é uma reta descrita pela equação y = 0.5x + 1.5 .

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