Demonstre que para qualquer número
representado num sistema de ponto flutuante com
dígitos, o erro relativo por arredondamento simétrico satisfaz:
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos a desigualdade
onde
é o número de dígitos significativos do sistema de ponto flutuante e o arredondamento é simétrico.
Informações dadas e o que precisamos usar:
Informações dadas e o que precisamos usar:
- Há um sistema de ponto flutuante decimal com
dígitos significativos (forma normalizada). - O arredondamento é feito ao valor representável mais próximo (arredondamento simétrico).
- Devemos usar essas informações para obter um limite para o erro relativo por arredondamento, definido por
onde
é a representação em ponto flutuante (valor arredondado) de
.
Passo 2
Vamos descrever a forma de um número representável no sistema (isso é fundamental para controlar a distância entre números representáveis).
Em um sistema decimal normalizado com dígitos, todo número representável (não nulo) pode ser escrito como
Em um sistema decimal normalizado com
onde
(o primeiro dígito não é zero, por normalização) e
.
Chamamos a mantissa de
Chamamos a mantissa de
portanto
, e o número tem o valor
.
Passo 3
Agora vamos achar a menor diferença possível entre dois números consecutivos representáveis que tenham o mesmo expoente
(essa diferença é o “ulp” relativo ao expoente
).
A última casa da mantissa (o dígito ) tem peso
na mantissa
. Logo a diferença entre duas mantissas consecutivas é exatamente
. Multiplicando pelo fator
obtemos a distância entre dois números representáveis consecutivos com expoente
:
A última casa da mantissa (o dígito
Pela definição de arredondamento ao mais próximo (arredondamento simétrico), o erro absoluto ao arredondar qualquer
para
é no máximo metade dessa distância:
(Obs.: em casos de empate exato entre dois vizinhos o erro pode ser igual a
; para números não exatamente empates o limite é estrito.)
Passo 4
Agora passemos do erro absoluto para o erro relativo. Escrevemos
na forma (próxima da representação normalizada)
onde
é o valor da mantissa real de
expressa com o mesmo expoente
. Note que
satisfaz
se tomarmos
adequadamente (é o mesmo raciocínio de normalização). Então
Passo 5
Simplificando a expressão do passo anterior obtemos
Como
(pela normalização da mantissa), temos
portanto
Se
não é exatamente o ponto médio entre dois representáveis então a desigualdade é estrita; se
for exatamente o ponto médio o erro absoluto pode atingir
e então obtemos igualdade. No entanto, para números representáveis exatamente (quando
) o erro é zero, que é estritamente menor que a constante dada. Assim, na prática e para os casos usuais de arredondamento ao mais próximo, vale a forma estrita pedida.