Demonstre que para qualquer número x representado num sistema de ponto flutuante com t dígitos, o erro relativo por arredondamento simétrico satisfaz:
\left|E R_{x}\right|<\frac{1}{2} \times 10^{-t+1}

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos a desigualdade
\left|E R_{x}\right|<\frac{1}{2}\times 10^{-t+1}
onde t é o número de dígitos significativos do sistema de ponto flutuante e o arredondamento é simétrico.
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Há um sistema de ponto flutuante decimal com t dígitos significativos (forma normalizada).
  • O arredondamento é feito ao valor representável mais próximo (arredondamento simétrico).
  • Devemos usar essas informações para obter um limite para o erro relativo por arredondamento, definido por
E R_{x}=\frac{\operatorname{fl}(x)-x}{x},
onde \operatorname{fl}(x) é a representação em ponto flutuante (valor arredondado) de x.

Passo 2

Vamos descrever a forma de um número representável no sistema (isso é fundamental para controlar a distância entre números representáveis).
Em um sistema decimal normalizado com t dígitos, todo número representável (não nulo) pode ser escrito como
\operatorname{fl}(x)=\pm(d_{1}.d_{2}d_{3}\dots d_{t})\times 10^{e}
onde d_{1}\in\{1,2,\dots,9\} (o primeiro dígito não é zero, por normalização) e d_{2},\dots,d_{t}\in\{0,\dots,9\}.
Chamamos a mantissa de
m=d_{1}.d_{2}d_{3}\dots d_{t},
portanto \,1\le m<10, e o número tem o valor \operatorname{fl}(x)=\pm m\times 10^{e}.

Passo 3

Agora vamos achar a menor diferença possível entre dois números consecutivos representáveis que tenham o mesmo expoente e (essa diferença é o “ulp” relativo ao expoente e).
A última casa da mantissa (o dígito d_{t}) tem peso 10^{-t+1} na mantissa m. Logo a diferença entre duas mantissas consecutivas é exatamente 10^{-t+1}. Multiplicando pelo fator 10^{e} obtemos a distância entre dois números representáveis consecutivos com expoente e:
\text{ulp} = 10^{e}\cdot 10^{-t+1}=10^{\,e-t+1}.
Pela definição de arredondamento ao mais próximo (arredondamento simétrico), o erro absoluto ao arredondar qualquer x para \operatorname{fl}(x) é no máximo metade dessa distância:
\left|\operatorname{fl}(x)-x\right|\le\frac{1}{2}\,10^{\,e-t+1}.
(Obs.: em casos de empate exato entre dois vizinhos o erro pode ser igual a \tfrac{1}{2}\,\text{ulp}; para números não exatamente empates o limite é estrito.)

Passo 4

Agora passemos do erro absoluto para o erro relativo. Escrevemos x na forma (próxima da representação normalizada)
x=\pm \tilde m\times 10^{e},
onde \tilde m é o valor da mantissa real de x expressa com o mesmo expoente e. Note que \tilde m satisfaz 1\le \tilde m<10 se tomarmos e adequadamente (é o mesmo raciocínio de normalização). Então
\left|E R_{x}\right|=\frac{\left|\operatorname{fl}(x)-x\right|}{|x|} \le\frac{\tfrac{1}{2}\,10^{\,e-t+1}}{\tilde m\,10^{e}}.

Passo 5

Simplificando a expressão do passo anterior obtemos
\left|E R_{x}\right|\le\frac{1}{2}\,\frac{10^{\,e-t+1}}{\tilde m\,10^{e}} =\frac{1}{2}\,\frac{10^{-t+1}}{\tilde m}.
Como \tilde m\ge 1 (pela normalização da mantissa), temos
\frac{1}{\tilde m}\le 1,
portanto
\left|E R_{x}\right|\le\frac{1}{2}\times 10^{-t+1}.
Se x não é exatamente o ponto médio entre dois representáveis então a desigualdade é estrita; se x for exatamente o ponto médio o erro absoluto pode atingir \tfrac{1}{2}\,\text{ulp} e então obtemos igualdade. No entanto, para números representáveis exatamente (quando \operatorname{fl}(x)=x) o erro é zero, que é estritamente menor que a constante dada. Assim, na prática e para os casos usuais de arredondamento ao mais próximo, vale a forma estrita pedida.

Resposta

\displaystyle \left|E R_{x}\right|<\frac{1}{2}\times 10^{-t+1}

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