Um secador de minério utiliza ar quente seco que entra no equipamento a 800^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} minério, com 8 \% de umidade, entra no secador a 25^{\circ} \mathrm{C}. No final do processo, o minério está completamente seco, a 200^{\circ} \mathrm{C} e o ar úmido que deixa o processo também está a 200^{\circ} \mathrm{C}. Qual a relação entre as vazões mássicas de ar seco e minério úmido na entrada do secador?
Utilize as tabelas de água/vapor para a água. Para o ar, utilize a tabela que dá as propriedades do ar como função da temperatura. Considere o secador adiabático. Considere o calor específico do minério seco como constante e igual a 0,88 \mathrm{~kJ}^{-1} \mathrm{~kg}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. A umidade do minério é a relação (massa de água)/(massa de minério úmido). A pressão é 100 kPa .

Passo 1

O problema pede a relação entre as vazões mássicas de ar seco e minério úmido na entrada do secador, ou seja, \dfrac{\dot{m}_{\text{ar seco}}}{\dot{m}_{\text{minério úmido}}}éú.\n\nInformações dadas (vou listar tudo explicitamente):\n\n- Temperatura do ar seco de entrada: T_{a,\text{in}}=800^\circ\mathrm{C}.\n- Temperatura do ar úmido de saída: T_{a,\text{out}}=200^\circ\mathrm{C}.\n- Temperatura do minério úmido de entrada: T_{m,\text{in}}=25^\circ\mathrm{C}.\n- Temperatura do minério seco de saída: T_{m,\text{out}}=200^\circ\mathrm{C}.\n- Umidade do minério (definida no enunciado como massa de água / massa de minério úmido): 8\%, isto é, w_{m}=\dfrac{m_{\text{água, inicial}}}{m_{\text{minério úmido}}}=0{,}08áéú.\n- O minério sai completamente seco (toda a água inicial é evaporada).\n- Secador adiabático (energia trocada apenas entre ar e minério; sem perdas externas).\n- Calor específico do minério seco: c_{p,\text{minério}}=0{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}é (constante).\n- Pressão total: 100\\ \mathrm{kPa} (usada se precisarmos de propriedades de vapor).\n\nValores das propriedades que vou usar (valores típicos/tabelas):\n\n- Calor específico do ar seco aproximado (constante média): c_{p,\text{ar}}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.\n- Calor específico da água líquida: c_{p,\ell}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.\n- Calor específico do vapor de água (médio): c_{p,\text{vapor}}=2{,}01\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.\n- Calor latente de vaporização da água (a 100^\circ\mathrm{C}, 100\\ \mathrm{kPa}): h_{fg@100^\circ\mathrm{C}}=2257\\ \mathrm{kJ/kg}.\n\nObs.: peguei os valores de h_{fg}, c_p e os calores específicos em tabelas típicas de água/steam e ar (essas são as entradas que se usa em exercícios desse tipo). Se você tiver uma tabela diferente, o procedimento é o mesmo; apenas mudam os números.\n\nA partir daqui vou montar um balanço de energia por unidade de minério úmido (base conveniente) e achar quanto de ar seco é necessário para fornecer essa energia.

Passo 2

Escolho a base: 1\\ \mathrm{kg} de minério úmido que entra. Com isso obtenho massas internas:\n\n- Massa de água inicial no minério: \;m_w = w_{m}\cdot 1\\ \mathrm{kg} = 0{,}08\\ \mathrm{kg}.\n- Massa de sólido seco no minério: \;m_s = 1 - m_w = 0{,}92\\ \mathrm{kg}.\n\nIsso facilita as contas: no final todo essa água ( 0{,}08\\ \mathrm{kg}) será evaporada e levada pelo ar.

Passo 3

Escrevo o balanço de energia (secador adiabático): energia cedida pelo ar ao se resfriar de 800^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C} = energia necessária para aquecer o minério seco de 25^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C} + energia necessária para transformar a água líquida a 25^\circ\mathrm{C} em vapor a 200^\circ\mathrm{C}.\n\nMatematicamente, por unidade de minério úmido (1 kg) e por \dot{m}_{\text{ar}} kg de ar seco:\n\n \dot{m}_{\text{ar}}\; q_{\text{ar, por kg}} = Q_{\text{minério}} = Q_{\text{sólidos}} + Q_{\text{água}}éóá\n\nonde q_{\text{ar, por kg}} = c_{p,\text{ar}}\,(T_{a,\text{in}} - T_{a,\text{out}}) é a energia disponível por kg de ar seco que esfria.\n\nVou calcular cada termo explicitamente.

Passo 4

Energia para aquecer os sólidos secos (massa m_s=0{,}92\\ \mathrm{kg}) de 25^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C}:\n\n Q_{\text{sólidos}} = m_s\; c_{p,\text{minério}}\;(T_{m,\text{out}} - T_{m,\text{in}}).óé\n\nSubstituindo números:\n\n Q_{\text{sólidos}} = 0{,}92 \times 0{,}88 \times (200 - 25)\\ \mathrm{kJ}.ó\n\nCalculo passo a passo:\n\n 200-25 = 175\\ \mathrm{K},\n 0{,}88 \times 175 = 154{,}0\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ sólido},ó\n Q_{\text{sólidos}} = 0{,}92 \times 154{,}0 = 141{,}68\\ \mathrm{kJ\\ (por\\\ 1\\ kg\\ minério\\ úmido)}.óéú

Passo 5

Energia para transformar a água líquida inicialmente a 25^\circ\mathrm{C} (massa m_w=0{,}08\\ \mathrm{kg}) em vapor a 200^\circ\mathrm{C}:\n\nEstratégia física: aquece-se a água líquida de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} (sensible), vaporização a 100^\circ\mathrm{C} (latente a 100\\ \mathrm{kPa}), e depois superaquece o vapor de 100^\circ\mathrm{C} até 200^\circ\mathrm{C} (sensible do vapor). Assim:\n\n q_{\text{água, por kg}} = c_{p,\ell}(100-25) + h_{fg@100^\circ\mathrm{C}} + c_{p,\text{vapor}}(200-100).á\n\nSubstituindo os valores tabulados:\n\n q_{\text{água, por kg}} = 4{,}18\times 75 + 2257 + 2{,}01\times 100\\ \mathrm{kJ/kg}.á\n\nCalculo passo a passo:\n\n 4{,}18\times 75 = 313{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},\n 2{,}01\times 100 = 201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},\n q_{\text{água, por kg}} = 313{,}5 + 2257 + 201{,}0 = 2771{,}5\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ água}.áá\n\nAgora multiplico pela massa de água m_w=0{,}08\\ \mathrm{kg}:\n\n Q_{\text{água}} = m_w \; q_{\text{água, por kg}} = 0{,}08 \times 2771{,}5 = 221{,}72\\ \mathrm{kJ}.áá

Passo 6

Energia total requerida para tratar 1\\ \mathrm{kg} de minério úmido:\n\n Q_{\text{minério}} = Q_{\text{sólidos}} + Q_{\text{água}} = 141{,}68 + 221{,}72 = 363{,}40\\ \mathrm{kJ}.éóá\n\nIsto é, cada 1\\ \mathrm{kg} de minério úmido precisa de 363{,}40\\ \mathrm{kJ} fornecidos pelo ar quente.

Passo 7

Energia disponível por 1\\ \mathrm{kg} de ar seco ao esfriar de 800^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C}:\n\n q_{\text{ar, por kg}} = c_{p,\text{ar}}(T_{a,\text{in}} - T_{a,\text{out}}) = 1{,}005 \times (800 - 200)\\ \mathrm{kJ/kg}.\n\n 800-200 = 600\\ \mathrm{K},\n q_{\text{ar, por kg}} = 1{,}005 \times 600 = 603{,}0\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.\n\nPequena observação didática: aqui estou usando c_{p,\text{ar}} como valor médio constante. Em tabelas mais detalhadas c_p varia com T, mas este procedimento é o mesmo; nesse tipo de prova costuma-se adotar um c_p médio para facilitar as contas sem calculadora.

Passo 8

Agora obtenho a massa de ar seco necessária por 1\\ \mathrm{kg} de minério úmido, simplesmente dividindo a energia necessária pela energia fornecida por kg de ar:\n\n \frac{\dot{m}_{\text{ar seco}}}{\dot{m}_{\text{minério úmido}}} = \frac{Q_{\text{minério}}}{q_{\text{ar, por kg}}} = \frac{363{,}40}{603{,}0}.éúé\n\nCalculando:\n\n \frac{363{,}40}{603{,}0} \approx 0{,}6026 \approx 0{,}603.\n\nEntão são necessários aproximadamente 0{,}603\\ \mathrm{kg} de ar seco por 1\\ \mathrm{kg} de minério úmido.

Passo 9

Comentários finais e verificação rápida (tipo “sanity check”):\n\n- A razão obtida \approx 0{,}6\\ \mathrm{kg\\ ar/kg\\ minério}é é razoável porque o ar é bastante quente (grande capacidade de fornecer energia por kg). Se o ar tivesse temperatura de entrada bem menor, precisaríamos de muito mais ar.\n- Principais hipóteses que fiz (comuniquei antes, mas resumo): c_p constantes, valores típicos de h_{fg}, c_p da água e do vapor tirados de tabelas padrão; desprezei variação do calor específico do ar com temperatura ao usar um valor médio.\n- Se you quiser, posso refazer usando c_p do ar variável com temperatura (a partir de tabela) para uma resposta mais precisa; o procedimento é o mesmo.

Resposta

\dfrac{\dot{m}_{\text{ar seco}}}{\dot{m}_{\text{minério úmido}}}=0{,}603éú

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