Determine a solução da equação diferencial a seguir.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial com condição inicial:
com a condição
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem (aparece somente
e ). - O coeficiente de
é constante e igual a . - O termo não homogêneo é
. - A solução deve satisfazer
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Por que ele? Porque a equação está na forma linear de primeira ordem
com
e
. O fator integrante é uma técnica direta e curta para esse caso: multiplicando a equação por um fator
apropriado conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada de um produto
, o que facilita a integração. Agora explico como calcular esse fator integrante.
Passo 3
Fator integrante:
. Aqui
, logo
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Para ver isso, use a regra do produto:
Portanto a equação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Vamos calcular
por integração por partes duas vezes. Seja
.
Escolha e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
Escolha
Chame
. Para
aplicamos integração por partes com
,
, então
,
. Assim
Voltando para a expressão de
:
Isolando
:
Logo
onde
é constante (que podemos absorver na constante global
mais adiante).
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(sempre positivo) resulta a solução geral:
Aqui
é a constante arbitrária a determinar pela condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Primeiro calcule
e
:
Substituindo em
:
Isolando
:
portanto
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Podemos escrever de modo ligeiramente mais compacto: