Determine a solução da equação diferencial a seguir.
y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(x) \text { para } y(\pi)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial com condição inicial:
y'(x) + y(x) = \operatorname{sen}(x)
com a condição
y(\pi)=1.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem (aparece somente y' e y).
  • O coeficiente de y é constante e igual a 1.
  • O termo não homogêneo é \operatorname{sen}(x).
  • A solução deve satisfazer y(\pi)=1.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Por que ele? Porque a equação está na forma linear de primeira ordem
y'+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=1 e q(x)=\sin x. O fator integrante é uma técnica direta e curta para esse caso: multiplicando a equação por um fator \mu(x) apropriado conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada de um produto \big(\mu(x)y(x)\big)', o que facilita a integração. Agora explico como calcular esse fator integrante.

Passo 3

Fator integrante: \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=1, logo
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação original por e^{x} obtemos
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\sin x.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y. Para ver isso, use a regra do produto:
\big(e^{x}y\big)' = e^{x}y + e^{x}y'.
Portanto a equação fica
\big(e^{x}y\big)' = e^{x}\sin x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int e^{x}\sin x\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
I=\int e^{x}\sin x\,dx.
Vamos calcular I por integração por partes duas vezes. Seja I=\int e^{x}\sin x\,dx.
Escolha u=\sin x e dv=e^{x}dx. Então du=\cos x\,dx e v=e^{x}. Aplicando integração por partes:
I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx.
Chame J=\int e^{x}\cos x\,dx. Para J aplicamos integração por partes com u=\cos x, dv=e^{x}dx, então du=-\sin x\,dx, v=e^{x}. Assim
J = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx = e^{x}\cos x + I.
Voltando para a expressão de I:
I = e^{x}\sin x - J = e^{x}\sin x - (e^{x}\cos x + I).
Isolando I:
I = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I \quad\Rightarrow\quad 2I = e^{x}(\sin x - \cos x).
Logo
I = \frac{1}{2}e^{x}(\sin x - \cos x) + C_1,
onde C_1 é constante (que podemos absorver na constante global C mais adiante).

Passo 5

Substituindo I em e^{x}y = I + C obtemos
e^{x}y = \frac{1}{2}e^{x}(\sin x - \cos x) + C.
Dividindo por e^{x} (sempre positivo) resulta a solução geral:
y(x) = \frac{1}{2}\big(\sin x - \cos x\big) + C\,e^{-x}.
Aqui C é a constante arbitrária a determinar pela condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(\pi)=1. Primeiro calcule \sin\pi e \cos\pi:
\sin\pi = 0,\qquad \cos\pi = -1.
Substituindo em y(\pi):
1 = y(\pi) = \frac{1}{2}\big(0 - (-1)\big) + C\,e^{-\pi} = \frac{1}{2} + C\,e^{-\pi}.
Isolando C:
C\,e^{-\pi} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},
portanto
C = \frac{1}{2}e^{\pi}.

Passo 7

Substituindo C na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = \frac{1}{2}\big(\sin x - \cos x\big) + \frac{1}{2}e^{\pi}e^{-x}.
Podemos escrever de modo ligeiramente mais compacto:
y(x) = \frac{1}{2}\big(\sin x - \cos x + e^{\pi-x}\big).

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\big(\sin x-\cos x+e^{\pi-x}\big)

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