Demonstre:
Se
for uma relação anti-simétrica, então
também é anti-simétrica.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que se uma relação
é anti-simétrica então sua relação inversa (ou converso)
também é anti-simétrica. Vamos usar as definições de anti-simetria e de relação inversa.
Passo 2
Recordando que uma relação
é anti-simétrica se para quaisquer
, sempre que
e
ocorre
.
Definimos o converso de como
Definimos o converso de
$$
\tilde{r} = {(x,y)\in A\times A : (y,x)\in r}\n$$
isto é, exatamente quando
.
isto é,
Passo 3
Para mostrar que
é anti-simétrica, assumimos
e
. Então, pela definição de
, temos
e
. Como
é anti-simétrica, concluímos que
.
Portanto, sempre que e
ocorre
, ou seja,
é anti-simétrica.
Portanto, sempre que
Resposta
Logo,
é anti-simétrica.