Demonstre:
Se r for uma relação anti-simétrica, então tilder também é anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para provar que se uma relação r é anti-simétrica então sua relação inversa (ou converso) tilder também é anti-simétrica. Vamos usar as definições de anti-simetria e de relação inversa.

Passo 2

Recordando que uma relação rsubseteq Atimes A é anti-simétrica se para quaisquer x,yin A, sempre que (x,y)in r e (y,x)in r ocorre x=y.
Definimos o converso de r como
$$
\tilde{r} = {(x,y)\in A\times A : (y,x)\in r}\n$$
isto é, tilder = (x,y)in Atimes A : (y,x)in rn exatamente quando (x,y)intilder.

Passo 3

Para mostrar que tilder é anti-simétrica, assumimos (x,y)intilder e (y,x)intilder. Então, pela definição de tilder, temos (y,x)in r e (x,y)in r. Como r é anti-simétrica, concluímos que x=y.
Portanto, sempre que (x,y)intilder e (y,x)intilder ocorre x=y, ou seja, tilder é anti-simétrica.

Resposta

Logo, tilder é anti-simétrica.

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