Demonstre:
Se
for uma relação transitiva, então
também é transitiva.
Se
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, se uma relação
no conjunto
é transitiva, então sua relação inversa (ou recíproca)
também é transitiva. O conteúdo envolve a definição de relação inversa e a definição de transitividade.
Passo 2
Definimos a relação inversa
por
Ou seja, um par
está em
exatamente quando
está em
.
Passo 3
Para provar a transitividade de
, tomamos elementos arbitrários
e assumimos
Pela definição de relação inversa, isso significa
Passo 4
Como
é transitiva, de
e
segue
Este é o uso direto da definição de transitividade: se
e
então
.
Passo 5
Finalmente, aplicando novamente a definição de inversa, de
obtemos
Portanto, sempre que
e
estão em
, também
está em
. Isso mostra que
é transitiva.
Resposta
Logo, a relação inversa
é transitiva.