Demonstre:
Se r for uma relação transitiva, então tilder também é transitiva.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, se uma relação r no conjunto A é transitiva, então sua relação inversa (ou recíproca) tilder também é transitiva. O conteúdo envolve a definição de relação inversa e a definição de transitividade.

Passo 2

Definimos a relação inversa tilder por
tilder = ,(y,x) : (x,y) in r,
Ou seja, um par (a,b) está em tilder exatamente quando (b,a) está em r.

Passo 3

Para provar a transitividade de tilder, tomamos elementos arbitrários a,b,cin A e assumimos
(a,b) in tildere(b,c) in tilder
Pela definição de relação inversa, isso significa
(b,a) in re(c,b) in r

Passo 4

Como r é transitiva, de (b,a) in r e (c,b) in r segue
(c,a) in r
Este é o uso direto da definição de transitividade: se (x,y)in r e (y,z)in r então (x,z)in r.

Passo 5

Finalmente, aplicando novamente a definição de inversa, de (c,a) in r obtemos
(a,c) in tilder
Portanto, sempre que (a,b) e (b,c) estão em tilder, também (a,c) está em tilder. Isso mostra que tilder é transitiva.

Resposta

Logo, a relação inversa tilder é transitiva.

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