Encontre os auto-valores e auto-vetores das matrizes abaixo. Em cada caso, verifique se admite uma base de auto-vetores.
Passo 1
O enunciado pede para achar autovalores e autovetores das matrizes A, B e C, todas triangulares por blocos, e verificar se há base de autovetores real (isto é, se são diagonalizáveis sobre ℝ).
Passo 2
Para a matriz A notamos que é triangular, então seus autovalores são as entradas da diagonal:
A=1&2&-10&-1&00&0&-2,sigma(A)=1,-1,-2
Passo 3
Agora cada valor λ satisfaz (A-lambda I)x=0:
Para lambda=1 temos
A-I=0&2&-10&-2&00&0&-3, que gera o sistema
2y-z=0, -2y=0, -3z=0 Dessa forma y=0, z=0 e x livre. Tomando x=1 obtemos
v1=(1,0,0)^T
Passo 4
Para lambda=-1 temos
A+I=2&2&-10&0&00&0&-1, que dá
2x+2y-z=0, -z=0implies z=0, x=-y Escolhendo y=1 fica
v2=(-1,1,0)^T
Passo 5
Para lambda=-2 temos
A+2I=3&2&-10&1&00&0&0, que gera
y=0, 3x-z=0implies z=3x Tomando x=1 obtemos
v3=(1,0,3)^T
Passo 6
Como temos 3 autovalores distintos com 3 vetores independentes, A é diagonalizável em ℝ³.
Passo 7
Para a matriz B, também triangular em blocos,
B=3&0&00&2&-50&1&-2 O bloco 2×2 tem polinômio característico lambda^2+1=0, ou seja autovalores 2pm i complexos, e o único autovalor real é lambda=3.
Passo 8
Resolvendo (B-3I)x=0,
B-3I=0&0&00&-1&-50&1&-5, vem
-y-5z=0, y-5z=0implies y=0, z=0, x livre Assim o único autovetor real é
v=(1,0,0)^T
Passo 9
Logo B não possui 3 autovetores reais independentes e não é diagonalizável em ℝ³.
Passo 10
Para a matriz C, temos
C=2&1&0&00&2&0&00&0&1&10&0&-2&4, blocos 2×2: o primeiro é um bloco de Jordan com autovalor 2 (multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1), o segundo tem autovalores 2 e 3. Assim
sigma(C)=2(mu< 3),;3(mu< 1)
Passo 11
Os autovetores reais para lambda=2 vêm de bloco 1: y=0implies w1=(1,0,0,0)^T, bloco 2: (-u+v=0\implies w_2=(0,0,1,1)^T.]
Passo 12
Para lambda=3 no bloco 2
-2u+v=0implies w3=(0,0,1,2)^T Note que a multiplicidade geométrica de 2 é 2 (< 3), logo C não é diagonalizável em ℝ⁴.
Resposta
Matriz A: autovalores 1, –1 e –2 com autovetores (1,0,0), (–1,1,0), (1,0,3). Tem 3 vetores independentes, logo é diagonalizável em ℝ³.
Matriz B: único autovalor real 3 com autovetor (1,0,0); os outros são complexos. Não há 3 autovetores reais, logo não é diagonalizável em ℝ³.
Matriz C: autovalores 2 (alg. mult. 3, geom. mult. 2) e 3 (mult. 1); autovetores reais para 2: (1,0,0,0), (0,0,1,1) e para 3: (0,0,1,2). Geom. mult. de 2 é 2<3, logo C não é diagonalizável em ℝ⁴.