Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
definido por
. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores, e vamos usar a definição
junto com a equação característica.
Passo 2
Para aplicar a definição, representamos
na base canônica
. Note que
Logo, a matriz de
é
Passo 3
Os autovalores são as raízes do polinômio característico
Passo 4
Resolvendo
obtemos
Passo 5
Para cada valor de
encontramos o autovetor não nulo que satisfaz
.
Para :
Para
daí as equações
Logo
é livre e os autovetores são múltiplos de
.
Passo 6
Para
:
daí
Logo
é livre e os autovetores são múltiplos de
.
Resposta
Os autovalores são
e
. O autovetor associado a
é qualquer múltiplo de
, e o autovetor associado a
é qualquer múltiplo de
.