Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
T(x, y)=(-x, y)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear T: R^2to R^2 definido por T(x,y)=(-x,y). O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores, e vamos usar a definição T(v)=lambda v junto com a equação característica.

Passo 2

Para aplicar a definição, representamos T na base canônica (1,0),(0,1). Note que
T(1,0)=(-1,0),
T(0,1)=(0,1)
Logo, a matriz de T é
A=-1 & 0[6pt]0 & 1

Passo 3

Os autovalores são as raízes do polinômio característico
det(A-lambda I)=det-1-lambda & 0[4pt]0 & 1-lambda=(-1-lambda)(1-lambda)=0

Passo 4

Resolvendo (-1-lambda)(1-lambda)=0 obtemos
lambda1=-1,
lambda2=1

Passo 5

Para cada valor de lambda encontramos o autovetor não nulo que satisfaz (A-lambda I)v=0.
Para lambda1=-1:
A+I=0 & 0[4pt]0 & 2,
daí as equações
0cdot x+0cdot y=0,[4pt]2y=0implies y=0
Logo x é livre e os autovetores são múltiplos de (1,0).

Passo 6

Para lambda2=1:
A-I=-2 & 0[4pt]0 & 0,
daí
-2x=0implies x=0,[4pt]0cdot x+0cdot y=0
Logo y é livre e os autovetores são múltiplos de (0,1).

Resposta

Os autovalores são -1 e 1. O autovetor associado a -1 é qualquer múltiplo de (1,0), e o autovetor associado a 1 é qualquer múltiplo de (0,1).

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