Demonstre:
Se r for uma relação reflexiva, então tilder também é reflexiva.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas uma relação r em um conjunto A que é reflexiva, a relação inversa tilder também é reflexiva. O conteúdo aqui é teoria de relações binárias, e vamos precisar das definições de relação reflexiva e de relação inversa.

Passo 2

Definição de relação reflexiva: r é reflexiva se, e somente se, para todo x em A, temos (x,x) in r.
Definição de relação inversa: tilder = (u,v) : (v,u) in r.

Passo 3

Seja arbitrário um elemento x in A. Nosso objetivo é mostrar que (x,x) in tilder.

Passo 4

Como r é reflexiva, sabemos que (x,x) in r.

Passo 5

Pela definição de relação inversa, sempre que (v,u) in r tem-se (u,v) in tilder. Aplicando isso ao par (x,x), concluímos que (x,x) in tilder. Assim, mostramos que para todo x in A, (x,x) in tilder. Isso é exatamente a reflexividade de tilder.

Resposta

tilder é reflexiva.

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