Demonstre:
Se
for uma relação reflexiva, então
também é reflexiva.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas uma relação
em um conjunto
que é reflexiva, a relação inversa
também é reflexiva. O conteúdo aqui é teoria de relações binárias, e vamos precisar das definições de relação reflexiva e de relação inversa.
Passo 2
Definição de relação reflexiva:
é reflexiva se, e somente se, para todo
em
, temos
.
Definição de relação inversa: .
Definição de relação inversa:
Passo 3
Seja arbitrário um elemento
. Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 4
Como
é reflexiva, sabemos que
.
Passo 5
Pela definição de relação inversa, sempre que
tem-se
. Aplicando isso ao par
, concluímos que
. Assim, mostramos que para todo
,
. Isso é exatamente a reflexividade de
.