Dadas as matrizes relacionais seguintes
mr:=(ccc 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 ) ms:=(ccccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 )
Determine mr o s, mtilder, mtildes, mwidetilder o s, mr o r, mr o r o r, e mr o tilder.

Passo 1

O enunciado pede para manipular duas matrizes relacionais em representação booleana: mr de tamanho 3times3 e ms de tamanho 3times5. Precisamos usar produto booleano de matrizes (onde o elemento (i,j) do produto é veek (Aikwed>= Bkj)) e complemento de relações (onde 0 vira 1 e 1 vira 0).

Passo 2

Vamos calcular mrcirc s por produto booleano de mr (3×3) com ms (3×5). Para cada entrada (i,j) fazemos (mrcirc s)ij=veek=1^3 (mr)ikwed>= (ms)kj. Computando linha a linha chegamos a:
mrcirc s= 1&1&0&1&0 1&0&1&1&1 1&1&1&1&1

Passo 3

O complemento mtilde r inverte cada bit de mr. Assim, partindo de
mr=1&0&11&1&01&1&1
temos
mtilde r=0&1&00&0&10&0&0

Passo 4

De modo análogo, o complemento mtilde s inverte cada bit de ms. Partindo de
ms=1&0&0&1&01&0&1&0&10&1&0&1&0
obtemos
mtilde s=0&1&1&0&10&1&0&1&01&0&1&0&1

Passo 5

O complemento de mrcirc s é
mwidetildercirc s=0&0&1&0&10&1&0&0&00&0&0&0&0

Passo 6

Para mrcirc r fazemos o produto booleano de mr com ele mesmo (3×3). Como cada linha de mr tem pelo menos um 1 em cada coluna de mr, o resultado é toda matriz de 1’s:
mrcirc r=1&1&11&1&11&1&1

Passo 7

Repetindo para mrcirc rcirc r=(mrcirc r)circ r, multiplicamos a matriz toda de 1’s por mr e continuamos com toda 1’s:
mrcirc rcirc r=1&1&11&1&11&1&1

Passo 8

Por fim, mrcirctilde r é o produto booleano de mr (3×3) por mtilde r (3×3). Calculando cada linha obtemos:
mrcirctilde r=0&1&00&1&10&1&1

Resposta

m_{r\circ s} =
1&1&0&1&01&0&1&1&11&1&1&1&1
m_{\tilde r} =
0&1&00&0&10&0&0
m_{\tilde s} =
0&1&1&0&10&1&0&1&01&0&1&0&1
m_{\widetilde{r\circ s}} =
0&0&1&0&10&1&0&0&00&0&0&0&0
m_{r\circ r} =
1&1&11&1&11&1&1
m_{r\circ r\circ r} =
1&1&11&1&11&1&1
m_{r\circ\tilde r} =
0&1&00&1&10&1&1

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