Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
T(x, y, z, w)=(2 x+y, 2 y, z+w,-2 z+4 w)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que temos: queremos os autovalores e autovetores do operador linear T:ℝ⁴→ℝ⁴ definido por T(x,y,z,w)=(2x+y, 2y, z+w, −2z+4w). O conteúdo aqui é espectro de um operador e espaços próprios; vamos precisar montar a matriz de T, calcular o polinômio característico e depois resolver (T−λI)v=0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é:
[T]= 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & 4
Note que ela é em bloco: um bloco 2×2 para (x,y) e outro 2×2 para (z,w), o que permite tratar separados.

Passo 3

Para o primeiro bloco A1=2&10&2, o polinômio característico é
det(A1-λI)=(2-λ)^2,
visto que dá λ=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para o segundo bloco A2=1&1-2&4, o polinômio característico é
det(A2-λI)=(1-λ)(4-λ)-(-2)=(λ^2-5λ+6)=(λ-2)(λ-3)
Logo os valores próprios de A₂ são λ=2 e λ=3, cada um de multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Combinando, o operador T tem os autovalores λ=2 (multiplicidade algébrica 2+1=3) e λ=3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 6

Agora achamos o espaço próprio para λ=2 resolvendo (T−2I)(x,y,z,w)=0. Isso dá o sistema:
y=0, -w+z=0, -2z+2w=0
Daí y=0, w=z e x,z livres. Então
v=(x,0,z,z)=x(1,0,0,0)+z(0,0,1,1).

Passo 7

Para λ=3 resolvemos (T−3I)(x,y,z,w)=0, obtendo
y=0, -x+y=0⇒x=0, -2z+w=0
Logo x=y=0, w=2z e z livre. Assim
v=z(0,0,1,2).

Resposta

Os autovalores são lambda=2 (multiplicidade algébrica 3) e lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).
O espaço próprio de lambda=2 é
E2=span(1,0,0,0),,(0,0,1,1),
e o espaço próprio de lambda=3 é
E3=span(0,0,1,2)

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