Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
O operador de derivação
O operador de derivação
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar os autovalores e autovetores do operador de derivação
, ou seja, polinômios de grau até
com coeficientes reais.
Passo 2
Escrevemos a condição de autovetor e autovalor:
Se
tem grau
, então
tem grau
, a não ser que seja o polinômio zero.
Passo 3
Analisando o grau, para
teríamos um polinômio de grau
igual a um de grau
, o que só é possível se
for o polinômio zero. Logo, o único possível autovalor é
.
Passo 4
Para
a equação fica
, que significa que
é constante. Assim, todo polinômio da forma
,
, é autovetor associado a
.
Resposta
O único autovalor é
, cujo espaço próprio é o conjunto dos polinômios constantes não nulos (ou seja,
, com
).