Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
O operador de derivação D: Pn(R) Pn(R)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar os autovalores e autovetores do operador de derivação D: Pn(R) to Pn(R), ou seja, polinômios de grau até n com coeficientes reais.

Passo 2

Escrevemos a condição de autovetor e autovalor: D p(x) = lambda p(x) Se p(x) tem grau k, então D p(x) tem grau k-1, a não ser que seja o polinômio zero.

Passo 3

Analisando o grau, para lambda neq 0 teríamos um polinômio de grau k-1 igual a um de grau k, o que só é possível se p(x) for o polinômio zero. Logo, o único possível autovalor é lambda = 0.

Passo 4

Para lambda = 0 a equação fica D p(x)=0, que significa que p(x) é constante. Assim, todo polinômio da forma p(x)=c, cneq0, é autovetor associado a lambda=0.

Resposta

O único autovalor é 0, cujo espaço próprio é o conjunto dos polinômios constantes não nulos (ou seja, p(x)=c, com cneq0).

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