Utilize a equação de Poisson para calcular o potencial
na região compreendida entre duas placas paralelas infinitas, separadas por uma distância
. Os potenciais nas placas são
e o espaço entre elas contém um densidade de carga
, sendo
uma constante e
a distância medida a partir da placa aterrada, com
. Calcule também a densidade superficial de carga nas duas placas (considere a permissividade
constante na estrutura).
Passo 1
Então vamos lá! O enunciado pede que a gente use a equação de Poisson pra achar o potencial elétrico
entre duas placas paralelas infinitas, separadas por distância
. As placas estão em potenciais
(aterrada) e
. No espaço entre elas existe carga volumétrica
. Também queremos a densidade de carga superficial em cada placa.
Conteúdo: equação de Poisson unidimensional e condição de contorno.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A equação de Poisson 1D:
. - Integrar duas vezes, aplicar
e . - Calcular o campo
e usar salto de campo na placa para achar .
Passo 2
Escreve a Poisson 1D com
:
Integramos uma vez em
:
onde
é constante de integração.
Passo 3
Integramos de novo pra achar
:
com constante
.
Passo 4
Aplicamos as condições de contorno:
-
⇒ . -
⇒
Passo 5
Então o potencial final é
Passo 6
Agora a densidade de carga superficial em cada placa. Primeiro calculamos o campo
Em
:
Em
:
Passo 7
A densidade superficial
numa placa é dada por
. Aqui o campo fora das placas é zero, então
- Na placa em
:
- Na placa em
:
Resposta
Potencial:
Densidades superficiais: