Utilize a equação de Poisson para calcular o potencial V na região compreendida entre duas placas paralelas infinitas, separadas por uma distância l. Os potenciais nas placas são 0 e V0 e o espaço entre elas contém um densidade de carga rho=rho0 x, sendo rho0 uma constante e x a distância medida a partir da placa aterrada, com V=0. Calcule também a densidade superficial de carga nas duas placas (considere a permissividade varepsilon constante na estrutura).

Passo 1

Então vamos lá! O enunciado pede que a gente use a equação de Poisson pra achar o potencial elétrico entre duas placas paralelas infinitas, separadas por distância . As placas estão em potenciais (aterrada) e . No espaço entre elas existe carga volumétrica . Também queremos a densidade de carga superficial em cada placa.
Conteúdo: equação de Poisson unidimensional e condição de contorno.
O que vamos precisar:
  • A equação de Poisson 1D: .
  • Integrar duas vezes, aplicar e .
  • Calcular o campo e usar salto de campo na placa para achar .

Passo 2

Escreve a Poisson 1D com d^2Vdx^2 ;=; -rho0,xvarepsilon :
dVdx = V'(x) = -integral rho0,xvarepsilon,dx = -rho0,x^22,varepsilon + A,
Integramos uma vez em :
onde é constante de integração.

Passo 3

Integramos de novo pra achar V(x) ;=; integral V'(x),dx = integrall(-rho0,x^22,varepsilon + Ar),dx = -rho0,x^36,varepsilon + A,x + B, :
com constante .

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno:
  1. -rho0,l^36,varepsilon + A,l = V0 ;Longrightarrow; A = V0 + rho0,l^36,varepsilonl = V0l + rho0,l^26,varepsilon .

Passo 5

Então o potencial final é
boxedV(x) = -rho0,x^36,varepsilon + l(V0l + rho0,l^26,varepsilonr),x

Passo 6

Agora a densidade de carga superficial em cada placa. Primeiro calculamos o campo
E(x) = -dVdx = -l(-rho0,x^22,varepsilon + Ar) = rho0,x^22,varepsilon - A
Em E(0)= -A = -l(V0l + rho0,l^26,varepsilonr) :
E(l)= rho0,l^22,varepsilon - A = -V0l + rho0,l^23,varepsilon
Em :

Passo 7

A densidade superficial numa placa é dada por . Aqui o campo fora das placas é zero, então
  • Na placa em :
  • Na placa em :

Resposta

Potencial:
V(x) = -rho0,x^36,varepsilon + l(V0l + rho0,l^26,varepsilonr),x
Densidades superficiais:
sigma(0) = -varepsilon,V0l ;-;rho0,l^26, sigma(l) = varepsilon,V0l ;-;rho0,l^23

Exercícios relacionados