Demonstre a regra do quociente de duas formas diferentes, passo a passo

Passo 1

O objetivo é mostrar que, para duas funções diferenciáveis f e g com g(x)\neq0, vale
\Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.
Faremos isso de duas maneiras:
  1. Usando diretamente a definição de derivada como limite de diferença quociente.
  2. Reescrevendo \tfrac{f}{g} como f\cdot g^{-1}, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia na função recíproca.

Passo 2

Método 1 – definição de derivada. Definimos
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
então
h'(x)=\lim_{\,\Delta x\to0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} =\lim_{\,\Delta x\to0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}.

Passo 3

Colocamos as frações sobre denominador comum e reorganizamos o numerador:
\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x+\Delta x)\,g(x)-f(x)\,g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\,g(x)}.
Logo
h'(x) =\lim_{\,\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)\,g(x)-f(x)\,g(x+\Delta x)}{\Delta x\;g(x+\Delta x)\,g(x)}.

Passo 4

No numerador, adicionamos e subtraímos f(x)\,g(x):
f(x+\Delta x)\,g(x)-f(x)\,g(x+\Delta x) =\bigl[f(x+\Delta x)-f(x)\bigr]g(x) -f(x)\bigl[g(x+\Delta x)-g(x)\bigr].
Então
h'(x) =\lim_{\,\Delta x\to0}\frac{\bigl[f(x+\Delta x)-f(x)\bigr]g(x)}{\Delta x\,g(x+\Delta x)\,g(x)} -\lim_{\,\Delta x\to0}\frac{f(x)\bigl[g(x+\Delta x)-g(x)\bigr]}{\Delta x\,g(x+\Delta x)\,g(x)}.

Passo 5

Cada limite separa-se em produtos de limites conhecidos:
\lim_{\,\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x), \quad \lim_{\,\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=g'(x), \quad \lim_{\,\Delta x\to0}g(x+\Delta x)=g(x).
Logo
h'(x) =\frac{f'(x)\,g(x)}{g(x)\,g(x)} -\frac{f(x)\,g'(x)}{g(x)\,g(x)} =\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.

Passo 6

Método 2 – regra do produto e da cadeia. Note que
\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}=f(x)\,u(x), \quad \text{onde }u(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{-1}.
Pela regra do produto,
\bigl(f\,u\bigr)'=f'\,u+f\,u'.

Passo 7

Para u(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{-1}, usamos a regra da cadeia: a derivada de v\mapsto v^{-1} é -v^{-2}. Assim
u'(x) =-\bigl[g(x)\bigr]^{-2}\cdot g'(x) =-\frac{g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^{2}}.

Passo 8

Voltando ao produto,
\Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'(x) =f'(x)\,\frac{1}{g(x)} +f(x)\,\Bigl(-\frac{g'(x)}{[g(x)]^{2}}\Bigr) =\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.

Resposta

\boxed{\Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.}

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