Demonstre a regra do quociente de duas formas diferentes, passo a passo
Passo 1
O objetivo é mostrar que, para duas funções diferenciáveis
e
com
, vale
Faremos isso de duas maneiras:
- Usando diretamente a definição de derivada como limite de diferença quociente.
- Reescrevendo
como , aplicando a regra do produto e a regra da cadeia na função recíproca.
Passo 2
Método 1 – definição de derivada. Definimos
então
Passo 3
Colocamos as frações sobre denominador comum e reorganizamos o numerador:
Logo
Passo 4
No numerador, adicionamos e subtraímos
:
Então
Passo 5
Cada limite separa-se em produtos de limites conhecidos:
Logo
Passo 6
Método 2 – regra do produto e da cadeia. Note que
Pela regra do produto,
Passo 7
Para
, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Assim
Passo 8
Voltando ao produto,