1. Encontre a série de cosseno e a de senos de f(t)=t-t^{2}, 0<t<1, e esboce os gráficos das duas extensões de f para as quais estas duas séries convergem.

Passo 1

O enunciado pede as séries de Fourier em cossenos e em senos para a função
f(t)=t-t^{2},\quad 0<t<1,
e depois quer o esboço dos gráficos das extensões para as quais cada série converge.
O conteúdo matemático envolve as fórmulas dos coeficientes de Fourier em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar) no intervalo [0,1].

Passo 2

Para a série de cossenos usamos a forma
f(t)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\pi t),
com
a_{0}=2\int_{0}^{1}f(t)\,dt, \qquad a_{n}=2\int_{0}^{1}f(t)\cos(n\pi t)\,dt.

Passo 3

Calculemos primeiro
a_{0}=2\int_{0}^{1}(t-t^{2})\,dt =2\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2\bigl(\tfrac12-\tfrac13\bigr)=\tfrac{1}{3}.
Agora, para n\ge1,
\int_{0}^{1}(t-t^{2})\cos(n\pi t)\,dt =-\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}},
de modo que
a_{n} =2\Bigl(-\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}\Bigr) =-\frac{2\bigl(1+(-1)^{n}\bigr)}{n^{2}\pi^{2}}.
Isso dá a_{n}=0 para n ímpar e, para n=2k,
a_{2k}=-\frac{4}{(2k)^{2}\pi^{2}} =-\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}.

Passo 4

Logo a série de cossenos fica
f(t)\sim \frac{1}{6} +\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}\Bigr)\cos\bigl(2k\pi t\bigr).

Passo 5

Para a série de senos usamos
f(t)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(n\pi t),
com
b_{n}=2\int_{0}^{1}f(t)\sin(n\pi t)\,dt.

Passo 6

Calcula-se
\int_{0}^{1}(t-t^{2})\sin(n\pi t)\,dt =-\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}},
logo
b_{n} =2\Bigl(-\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}\Bigr) =\frac{4\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.
Assim b_{n}=0 para n par e, para n=2k+1,
b_{2k+1}=\frac{8}{(2k+1)^{3}\pi^{3}}.

Passo 7

Portanto a série de senos fica
f(t)\sim \sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)^{3}\pi^{3}} \sin\bigl((2k+1)\pi t\bigr).

Passo 8

A série de cossenos converge para a extensão par de f\) em \([-1,1]\) dada por \[f_{\mathrm{par}}(t)= \begin{cases} t - t^{2},&0\le t\le1,\\\ (-t)-(-t)^{2}=-t-t^{2},&-1\le t<0, \end{cases}
repetindo-se periodicamente de período (2].

Passo 9

A série de senos converge para a extensão ímpar de f\) em \([-1,1]\) dada por \[f_{\mathrm{ímpar}}(t)= \begin{cases} t - t^{2},&0\le t\le1,\\\\ -\bigl((-t)-(-t)^{2}\bigr)=-t+t^{2},&-1\le t<0, \end{cases}
também repetida periodicamente de período (2].

Resposta

Série de cossenos:
f(t)=\frac{1}{6} +\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}\Bigr)\cos\bigl(2k\pi t\bigr).
Série de senos:
f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)^{3}\pi^{3}} \sin\bigl((2k+1)\pi t\bigr).
Gráfico da extensão par em [-1,1]: função simétrica com ramo em [0,1] dado por t-t^{2} e em [-1,0] por -t-t^{2}.
Gráfico da extensão ímpar em [-1,1]: função antissimétrica com ramo em [0,1] dado por t-t^{2} e em [-1,0] por -t+t^{2}.

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