- Encontre a série de cosseno e a de senos de
, e esboce os gráficos das duas extensões de
para as quais estas duas séries convergem.
Passo 1
O enunciado pede as séries de Fourier em cossenos e em senos para a função
e depois quer o esboço dos gráficos das extensões para as quais cada série converge.
O conteúdo matemático envolve as fórmulas dos coeficientes de Fourier em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar) no intervalo .
O conteúdo matemático envolve as fórmulas dos coeficientes de Fourier em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar) no intervalo
Passo 2
Para a série de cossenos usamos a forma
com
Passo 3
Calculemos primeiro
Agora, para
,
de modo que
Isso dá
para
ímpar e, para
,
Passo 4
Logo a série de cossenos fica
Passo 5
Para a série de senos usamos
com
Passo 6
Calcula-se
logo
Assim
para
par e, para
,
Passo 7
Portanto a série de senos fica
Passo 8
A série de cossenos converge para a extensão par de
repetindo-se periodicamente de período (2].
Passo 9
A série de senos converge para a extensão ímpar de
também repetida periodicamente de período (2].
Resposta
Série de cossenos:
Série de senos:
Gráfico da extensão par em
: função simétrica com ramo em
dado por
e em
por
.
Gráfico da extensão ímpar em : função antissimétrica com ramo em
dado por
e em
por
.
Gráfico da extensão ímpar em