Usando integração parcial direta determine uma solução geral para a E D P. Em seguida, resolva o problema de valores de contorno nos seguintes casos
\begin{aligned}u_{x y} & =1, \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \u_{x} & =y \text { e } u_{y}=x+\frac{3}{y}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDP
\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}=1
em \mathbb{R}^2 por integração parcial direta e depois escolher a solução que satisfaça \partial_x u = y e \partial_y u = x + \tfrac{3}{y}.

Passo 2

Integramos \partial_{xy}u=1 em relação a x, tratando y como constante. Obtemos
\partial_{y}u(x,y)=\int 1\,dx = x + C_{1}(y),
onde C_{1}(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 3

Agora integramos \partial_{y}u = x + C_{1}(y) em relação a y, tratando x como constante:
u(x,y)=\int\!(x + C_{1}(y))\,dy = x\,y + \int C_{1}(y)\,dy + C_{2}(x).
Chamando \displaystyle F(y)=\int C_{1}(y)\,dy e G(x)=C_{2}(x), a solução geral da EDP é
u(x,y)=x\,y + F(y) + G(x).

Passo 4

Impondo \partial_x u = y. Diferenciando a forma geral em x
\partial_x u = y + G'(x).
Como deve valer \partial_x u = y, segue G'(x)=0, ou seja G(x) é constante.

Passo 5

Impondo \partial_y u = x + \tfrac{3}{y}. Diferenciando a forma geral (com G constante) em y
\partial_y u = x + F'(y).
Igualando a x + \tfrac{3}{y} resulta F'(y)=\tfrac{3}{y}, cujo antiderivado é
F(y)=3\ln\lvert y\rvert + C.

Resposta

u(x,y)=x\,y + 3\ln\lvert y\rvert + C,
onde C é constante arbitrária.

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