(a) Um pulso retangular é descrito por
Mostre que sua transformada de Fourier é
tildef(omega)=2 sin a omegaomega
(b) Use a relação de Parseval para mostrar que
integral-infty^infty sin ^2 xx^2 d x=pi
Passo 1
O enunciado trata de um pulso retangular
e pede em (a) sua transformada de Fourier
tilde f(omega)
e em (b) usar a relação de Parseval para calcular
integral-infty^inftysin^2xx^2dx .
e em (b) usar a relação de Parseval para calcular
Passo 2
A definição da transformada de Fourier que vamos usar é
Como
f(t)=1 apenas em
-a<t<a , reduzimos a integral a
Passo 3
Para avaliar
integral-a^ae^-iomega tdt
fazemos a primitiva
fazemos a primitiva
logo
Como
e^itheta-e^-itheta=2isintheta , vem
Passo 4
Concluímos a parte (a):
Passo 5
A relação de Parseval para transformada de Fourier é
No nosso caso
Passo 6
Por outro lado,
então
Igualando a
2a resulta
Passo 7
Para chegar à integral pedida em (b) fazemos a mudança de variável
de modo que
Como isso vale
pi a , dividindo por
a obtemos
Resposta
(a)
tilde f(omega)=2sin(aomega)omega
(b)integral-infty^inftysin^2xx^2dx=pi
(b)