(a) Um pulso retangular é descrito por
f(t)= 1, & |t|<a 0, & |t|>a
Mostre que sua transformada de Fourier é
tildef(omega)=2 sin a omegaomega
(b) Use a relação de Parseval para mostrar que
integral-infty^infty sin ^2 xx^2 d x=pi

Passo 1

O enunciado trata de um pulso retangular
f(t)=1,&|t|<a,0,&|t|>a,
e pede em (a) sua transformada de Fourier
tilde f(omega)
e em (b) usar a relação de Parseval para calcular
integral-infty^inftysin^2xx^2dx.

Passo 2

A definição da transformada de Fourier que vamos usar é
tilde f(omega)=integral-infty^inftyf(t)e^-iomega tdt
Como f(t)=1 apenas em -a<t<a, reduzimos a integral a
tilde f(omega)=integral-a^ae^-iomega tdt

Passo 3

Para avaliar
integral-a^ae^-iomega tdt
fazemos a primitiva
integral e^-iomega tdt=-1iomegae^-iomega t,
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tilde f(omega) =-1iomegal[e^-iomega tr]t=-a^t=a =-1iomegal(e^-iomega a-e^iomega ar)
Como e^itheta-e^-itheta=2isintheta, vem
tilde f(omega) =1iomega,2isin(aomega) =2sin(aomega)omega

Passo 4

Concluímos a parte (a):
tilde f(omega)=2sin(aomega)omega

Passo 5

A relação de Parseval para transformada de Fourier é
integral-infty^inftyl|f(t)r|^2dt =12piintegral-infty^inftyl|tilde f(omega)r|^2domega
No nosso caso
integral-infty^inftyl|f(t)r|^2dt =integral-a^a1,dt=2a

Passo 6

Por outro lado,
l|tilde f(omega)r|^2 =l(2sin(aomega)omegar)^2 =4sin^2(aomega)omega^2,
então
12piintegral-infty^inftyl|tilde f(omega)r|^2domega =12piintegral-infty^infty4sin^2(aomega)omega^2domega =2piintegral-infty^inftysin^2(aomega)omega^2domega
Igualando a 2a resulta
integral-infty^inftysin^2(aomega)omega^2domega =pi a

Passo 7

Para chegar à integral pedida em (b) fazemos a mudança de variável
x=aomega, domega=dxa, omega=xa,
de modo que
integral-infty^inftysin^2(aomega)omega^2domega =integral-infty^infty sin^2x(x/a)^2,dxa =aintegral-infty^inftysin^2xx^2dx
Como isso vale pi a, dividindo por a obtemos
integral-infty^inftysin^2xx^2dx=pi

Resposta

(a) tilde f(omega)=2sin(aomega)omega
(b) integral-infty^inftysin^2xx^2dx=pi

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