Demonstre as seguintes afirmações, supondo X e Y variáveis aleatórias quaisquer e a, b in R :
Cov(X, Y)=Cov(Y, X)

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer variáveis aleatórias Cov(X,Y)=Cov(Y,X) e , vale
Isso faz parte de Estatística/Probabilidade, mais precisamente do conceito de covariância.
O que vamos precisar:
  • A definição de covariância
  • Saber que a multiplicação de números (ou de funções) é comutativa
  • Saber que a esperança ( ) é um operador que não se importa com a ordem dentro do produto

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de covariância. Por definição,
Cov(X,Y);=;El[,(X-E[X]),(Y-E[Y])r]
Aqui:
  • é a esperança (ou valor esperado) de .
  • é o “desvio” de em relação à sua média, e o mesmo para .

Passo 3

O segredo está em notar que, sempre que eu tenho dois fatores Acdot B ;=; Bcdot A e (X-E[X]),(Y-E[Y]) ;=; (Y-E[Y]),(X-E[X]) , vale
(porque a multiplicação é comutativa). Então, no nosso caso,

Passo 4

Como a esperança El[,(X-E[X]),(Y-E[Y])r] = El[,(Y-E[Y]),(X-E[X])r] só “olha” para o valor do produto e não para a ordem dos fatores, temos
[
\mathbb{E}\bigl[,(X-\mathbb{E}[X]),(Y-\mathbb{E}[Y])\bigr]

\mathbb{E}\bigl[,(Y-\mathbb{E}[Y]),(X-\mathbb{E}[X])\bigr].
]
Pelo que escrevemos na definição, o primeiro lado é e o segundo lado é .

Resposta

Logo, mostramos que
boxedCov(X,Y)=Cov(Y,X)

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