Demonstre as seguintes afirmações, supondo
e
variáveis aleatórias quaisquer e
:
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer variáveis aleatórias
e
, vale
Isso faz parte de Estatística/Probabilidade, mais precisamente do conceito de covariância.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A definição de covariância
- Saber que a multiplicação de números (ou de funções) é comutativa
- Saber que a esperança (
) é um operador que não se importa com a ordem dentro do produto
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de covariância. Por definição,
Aqui:
-
é a esperança (ou valor esperado) de . -
é o “desvio” de em relação à sua média, e o mesmo para .
Passo 3
O segredo está em notar que, sempre que eu tenho dois fatores
e
, vale
(porque a multiplicação é comutativa). Então, no nosso caso,
Passo 4
Como a esperança
só “olha” para o valor do produto e não para a ordem dos fatores, temos
[
\mathbb{E}\bigl[,(X-\mathbb{E}[X]),(Y-\mathbb{E}[Y])\bigr]
\mathbb{E}\bigl[,(Y-\mathbb{E}[Y]),(X-\mathbb{E}[X])\bigr].
]
]
Pelo que escrevemos na definição, o primeiro lado é
e o segundo lado é
.
Resposta
Logo, mostramos que