Demonstre as seguintes afirmações, supondo
e
variáveis aleatórias quaisquer e
:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para qualquer variável aleatória
, a covariância de
consigo mesma é igual à variância de
:
Isso é conteúdo de estatística/probabilidade: precisamos usar a definição de expectativa (), de covariância e de variância, além de propriedades básicas de esperança.
Passo 2
Vamos lembrar as definições:
- A covariância entre duas variáveis
e é - A variância de
é
Ou seja, variância é só um caso especial de covariância quando
.
Passo 3
Agora é só substituir
na definição de covariância:
Repara que . Então
Passo 4
Mas, por definição, é exatamente a variância de
. Logo
Resposta
.