Demonstre as seguintes afirmações, supondo X e Y variáveis aleatórias quaisquer e a, b in R :
Cov(X, X)=Var(X)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para qualquer variável aleatória Cov(X,X) = Var(X) , a covariância de consigo mesma é igual à variância de :
Isso é conteúdo de estatística/probabilidade: precisamos usar a definição de expectativa (), de covariância e de variância, além de propriedades básicas de esperança.

Passo 2

Vamos lembrar as definições:
  • A covariância entre duas variáveis Cov(X,Y) = El[(X - E[X]),(Y - E[Y])r] e Var(X) = El[(X - E[X])^2r] é
  • A variância de é
Ou seja, variância é só um caso especial de covariância quando .

Passo 3

Agora é só substituir Cov(X, X) = El[(X - E[X]),(X - E[X])r] na definição de covariância:
Repara que . Então

Passo 4

Mas, por definição, é exatamente a variância de Cov(X, X) = Var(X) . Logo

Resposta

.

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