Demonstre as seguintes afirmações, supondo
e
variáveis aleatórias quaisquer e
:
Passo 1
Beleza, a questão é sobre probabilidade e estatística: mais exatamente, sobre covariância de variáveis aleatórias. A gente precisa provar que, para qualquer variável aleatória
, variável aleatória
e número real
, vale
Para fazer isso, vamos usar:
- A definição de covariância,
- A propriedade de linearidade da esperança (que permite “puxar” constantes para fora da esperança).
Passo 2
Definição de covariância
Por definição, a covariância entre duas variáveis aleatórias e
é
Por definição, a covariância entre duas variáveis aleatórias
Aqui, é a esperança (ou valor esperado). Sacou? É basicamente “quanto
e
variam juntos”.
Passo 3
Propriedade de esperança com constante
Uma coisa que a gente sabe é que, pra qualquer constante real e variável aleatória
,
Uma coisa que a gente sabe é que, pra qualquer constante real
Isso vale porque a esperança é linear: e se
é constante. Então podemos sempre “fatorar” constantes pra fora.
Passo 4
Calcular
Vamos aplicar a definição, trocando por
e
por
:
Vamos aplicar a definição, trocando
Agora, pela propriedade , temos
Substituindo isso dentro da esperança:
Como
é constante, dá pra puxar ele pra fora da esperança:
Mas o que sobra dentro da esperança é, pela definição, exatamente . Então