Demonstre as seguintes afirmações, supondo X e Y variáveis aleatórias quaisquer e a, b in R :
Cov(a X, Y)=a Cov(X, Y)

Passo 1

Beleza, a questão é sobre probabilidade e estatística: mais exatamente, sobre covariância de variáveis aleatórias. A gente precisa provar que, para qualquer variável aleatória Cov(aX, Y) ;=; a,Cov(X,Y) , variável aleatória e número real , vale
Para fazer isso, vamos usar:
  1. A definição de covariância,
  2. A propriedade de linearidade da esperança (que permite “puxar” constantes para fora da esperança).

Passo 2

Definição de covariância
Por definição, a covariância entre duas variáveis aleatórias Cov(U,V) ;=; El[(U - E[U]),(V - E[V])r] e é
Aqui, é a esperança (ou valor esperado). Sacou? É basicamente “quanto e variam juntos”.

Passo 3

Propriedade de esperança com constante
Uma coisa que a gente sabe é que, pra qualquer constante real E[a,Z] ;=; a,E[Z] e variável aleatória ,
Isso vale porque a esperança é linear: e se é constante. Então podemos sempre “fatorar” constantes pra fora.

Passo 4

Calcular
Vamos aplicar a definição, trocando Cov(aX, Y) = El[(aX - E[aX]),(Y - E[Y])r] por aX - E[aX] = aX - a,E[X] = a,(X - E[X]) e Cov(aX, Y) = El[,l(a,(X - E[X])r),(Y - E[Y])r] por Cov(aX, Y) = a,El[(X - E[X]),(Y - E[Y])r] :
Agora, pela propriedade , temos
Substituindo isso dentro da esperança:
Como Cov(aX, Y) = a,Cov(X,Y) é constante, dá pra puxar ele pra fora da esperança:
Mas o que sobra dentro da esperança é, pela definição, exatamente . Então

Resposta

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