Demonstre as seguintes fórmulas de integração:
integral 1raiza^2-x^2 d x=arcsen(xa)+k,|x|<a;

Passo 1

O enunciado quer demonstrar que, para |x|<a,
integral 1raiza^2-x^2,dx = arcsen!l(xar)+k
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica, pois o integrando envolve raiza^2 - x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica
x = a sintheta,
de modo que theta = arcsen(x/a) e a condição |x|<a garante que theta está em l(-tfracpi2,tfracpi2r).

Passo 3

Calculamos o diferencial e o radical:
dx = a costheta,dtheta, raiza^2 - x^2 = raiza^2 - a^2sin^2theta = acostheta

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral 1raiza^2-x^2,dx = integral 1acostheta,l(acostheta,dthetar) = integral dtheta

Passo 5

Integrando em theta segue
integral dtheta = theta + k
e voltando à variável x, como theta = arcsen(x/a), concluímos
integral 1raiza^2-x^2,dx = arcsen!l(xar) + k

Resposta

integral 1raiza^2-x^2,dx = arcsen!l(xar) + k, |x|<a

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