Exercício 2. Esboce a imagem:
F(t)=(cos t, sen t, 2) t in R.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica FcolonRtoR^3 definida por
F(t) = (cos t,;sin t,;2),
e pede para esboçar sua imagem, ou seja, o conjunto de todos os pontos F(t).

Passo 2

Observe que as duas primeiras coordenadas satisfazem
x(t)^2 + y(t)^2 = cos^2 t + sin^2 t = 1
Portanto, a projeção de F(t) no plano xy é um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

A terceira coordenada é
z(t) = 2
constante. Logo, toda a curva fica contida no plano horizontal z=2.

Passo 4

Combinando os resultados anteriores, a imagem de F é o círculo de raio 1 centrado em (0,0,2). Como cos t e sin t descrevem o círculo com período 2pi, o ponto percorre esse círculo no sentido anti-horário quando visto de cima (direção do eixo z positivo).

Resposta

A imagem de F é um círculo de raio 1 centrado em (0,0,2) no plano z=2, percorrido no sentido anti-horário.

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