Mostre que
H=[ll1 & a 0 & 1] rvert, a in R e G=[cccos theta & sen theta -sen theta & cos theta] rvert, theta in R são subgrupos do grupo multiplicativo das matrizes 2 times 2 sobre R invertíveis. Algum deles é abeliano?

Passo 1

O enunciado considera o grupo GL(2,R) das matrizes invertíveis 2times2 reais sob multiplicação e define dois subconjuntos
H=lA(a)=1 & a0 & 1mid ainRr, G=lR(theta)=costheta & sintheta-sintheta & costhetamid thetainRr
Para mostrar que cada um é subgrupo, vamos verificar fechamento, elemento neutro e inversos. Em seguida veremos se são abelianos.

Passo 2

Fechamento, neutro e inverso em H:
  1. Fechamento: para a,binR
A(a),A(b) =1 & a0 & 1 1 & b0 & 1 =1 & a+b0 & 1 = A(a+b)in H
  1. Neutro: A(0)=1&00&1 pertence a H.
  2. Inverso:
A(a)^-1 =1 & a0 & 1^-1 =1 & -a0 & 1 = A(-a)in H
Logo H é subgrupo.

Passo 3

Comutatividade de H:
A(a),A(b)=A(a+b)=A(b+a)=A(b),A(a),
pois a+b=b+a. Portanto H é abeliano.

Passo 4

Fechamento, neutro e inverso em G:
  1. Fechamento: para theta1,theta2inR
R(theta1),R(theta2) =costheta1 & sintheta1-sintheta1 & costheta1 costheta2 & sintheta2-sintheta2 & costheta2 =cos(theta1+theta2)&sin(theta1+theta2)-sin(theta1+theta2)&cos(theta1+theta2) =R(theta1+theta2)in G
  1. Neutro: R(0)=1&00&1.
  2. Inverso:
R(theta)^-1 =R(-theta) =cos(-theta)&sin(-theta)-sin(-theta)&cos(-theta) =costheta&-sinthetasintheta&costhetain G
Logo G é subgrupo.

Passo 5

Comutatividade de G:
R(theta1),R(theta2)=R(theta1+theta2)=R(theta2+theta1)=R(theta2),R(theta1),
já que a soma de ângulos comuta. Portanto G é abeliano.

Resposta

Tanto H quanto G são subgrupos de GL(2,R) e ambos são abelianos.

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