Demonstre as seguintes fórmulas de integração:
integral 1x raizx^2-a^2 d x=1a arcsec|xa|+k,|x|>a.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que
integral 1xraizx^2-a^2,dx = 1a,arcsecl|xar| + k, |x|>a
O método mais direto é usar substituição trigonométrica, pois aparece raizx^2-a^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = asec(theta), com |x|>a garantindo |sec(theta)|>1.
Então
dx = asec(theta)tan(theta),dtheta,
raizx^2 - a^2 = raiza^2sec^2(theta) - a^2 = atan(theta)

Passo 3

Substituindo no integrando, temos
1xraizx^2-a^2,dx = 1asec(theta),cdot,atan(theta) ;l[asec(theta)tan(theta),dthetar] = 1a,dtheta

Passo 4

Integrando em theta, fica
integral 1a,dtheta = thetaa + k

Passo 5

Voltando à variável original, de x=asec(theta) segue
theta = arcsec!l(tfracxar),
e o uso de barras em l|tfracxar| cobre os casos sec(theta)>1 e sec(theta)<-1.

Resposta

integral 1xraizx^2-a^2,dx = 1a,arcsecl|xar| + k, |x|>a

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