1. (Questão Bônus) Resolva a equação diferencial pelo método da Transformada de Laplace:
y^{(3)}(t)+3 y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+y(t)=e^{-t}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais:
y^{(3)}(t)+3\,y^{\prime\prime}(t)+3\,y^{\prime}(t)+y(t)=e^{-t},
com
y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=1,\quad y^{\prime\prime}(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } \text{equação diferencial de 3ª ordem homogênea com termo não-homogêneo } e^{-t},çãªêãê
\text{(ii) condições iniciais } y(0),\,y'(0),\,y''(0).çõ
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro, o que é e uma propriedade essencial que vamos usar.
Definição (resumida): a Transformada de Laplace de uma função y(t) é a função Y(s) dada por
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Propriedades que usaremos (explicadas): a transformada é linear (soma e constantes saem fora) e tem fórmulas para derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0).
Aqui Y(s) é a transformada de y(t) e s é a variável complexa da transformada. Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada e incorporam as condições iniciais.

Passo 3

Aplique a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, transformamos cada termo usando as fórmulas do passo anterior.
Transformada do lado esquerdo:
\mathcal{L}\{y^{(3)}\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0),
\mathcal{L}\{3y''\}=3\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big),
\mathcal{L}\{3y'\}=3\big(sY(s)-y(0)\big),
\mathcal{L}\{y\}=Y(s).
Agora substituímos as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0 em cada expressão.

Passo 4

Calcule explicitamente os termos numéricos que aparecem por causa das condições iniciais.
Para \mathcal{L}\{y^{(3)}\} com as iniciais:
\mathcal{L}\{y^{(3)}\}=s^{3}Y(s)-s^{2}\cdot 0 - s\cdot 1 - 0 = s^{3}Y(s)-s.
Para \mathcal{L}\{3y''\}:
\mathcal{L}\{3y''\}=3\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 0 - 1\big)=3s^{2}Y(s)-3.
Para \mathcal{L}\{3y'\}:
\mathcal{L}\{3y'\}=3\big(sY(s)-0\big)=3sY(s).
E \mathcal{L}\{y\}=Y(s).
Somando todos os termos do lado esquerdo obtemos:
(s^{3}+3s^{2}+3s+1)Y(s) - (s+3).

Passo 5

Transformada do lado direito: \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1} (fórmula padrão: \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} para \Re(s)>-a).
Portanto a equação transformada fica:
(s^{3}+3s^{2}+3s+1)Y(s) - (s+3) = \frac{1}{s+1}.
Isolando Y(s):
(s^{3}+3s^{2}+3s+1)Y(s) = \frac{1}{s+1} + (s+3).

Passo 6

Observação útil: o polinômio s^{3}+3s^{2}+3s+1 é a expansão de (s+1)^{3} (binômio de Newton). Então
(s+1)^{3}Y(s) = \frac{1}{s+1} + (s+3).
Dividindo por (s+1)^{3}:
Y(s) = \frac{1}{(s+1)^{4}} + \frac{s+3}{(s+1)^{3}}.

Passo 7

Simplificamos \dfrac{s+3}{(s+1)^{3}} para termos mais simples que são fáceis de inverter:
s+3=(s+1)+2 \quad\Rightarrow\quad \frac{s+3}{(s+1)^{3}}=\frac{s+1}{(s+1)^{3}}+\frac{2}{(s+1)^{3}}=\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{2}{(s+1)^{3}}.
Assim
Y(s)=\frac{1}{(s+1)^{4}}+\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{2}{(s+1)^{3}}.

Passo 8

Agora usamos a transformada inversa. Fórmula padrão (útil e importante): para a>0 e inteiro n\ge 1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\}(t)=\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}\,e^{-a t}.
Aplicamos com a=1 e os respectivos n:
  • Para \dfrac{1}{(s+1)^{2}}: n=2 então a inversa é \dfrac{t^{1}}{1!}e^{-t}=t\,e^{-t}.
  • Para \dfrac{2}{(s+1)^{3}}: n=3 então a inversa de \dfrac{1}{(s+1)^{3}} é \dfrac{t^{2}}{2!}e^{-t}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{-t}, multiplicando por 2 t^{2}e^{-t}.
  • Para \dfrac{1}{(s+1)^{4}}: n=4 então a inversa é \dfrac{t^{3}}{3!}e^{-t}=\dfrac{t^{3}}{6}e^{-t}.
Somando as três parcelas, obtemos a solução y(t):
y(t)=\left(\frac{t^{3}}{6}+t^{2}+t\right)e^{-t}.

Passo 9

Pequena verificação (conforto para a prova): em t=0 temos y(0)=0 (ok). A derivada (usando produto e avaliando em 0) dá y'(0)=1 (ok). Isso aumenta a confiança de que o resultado está correto.

Resposta

y(t)=\left(\frac{t^{3}}{6}+t^{2}+t\right)e^{-t}

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