- (Questão Bônus) Resolva a equação diferencial pelo método da Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais:
com
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro, o que é e uma propriedade essencial que vamos usar.
Definição (resumida): a Transformada de Laplace de uma função
é a função
dada por
Propriedades que usaremos (explicadas): a transformada é linear (soma e constantes saem fora) e tem fórmulas para derivadas:
Aqui
é a transformada de
e
é a variável complexa da transformada. Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada e incorporam as condições iniciais.
Passo 3
Aplique a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, transformamos cada termo usando as fórmulas do passo anterior.
Transformada do lado esquerdo:
Agora substituímos as condições iniciais
,
,
em cada expressão.
Passo 4
Calcule explicitamente os termos numéricos que aparecem por causa das condições iniciais.
Para
com as iniciais:
Para
:
Para
:
E
.
Somando todos os termos do lado esquerdo obtemos:
Passo 5
Transformada do lado direito:
(fórmula padrão:
para
).
Portanto a equação transformada fica:
Isolando
:
Passo 6
Observação útil: o polinômio
é a expansão de
(binômio de Newton). Então
Dividindo por
:
Passo 7
Simplificamos
para termos mais simples que são fáceis de inverter:
Assim
Passo 8
Agora usamos a transformada inversa. Fórmula padrão (útil e importante): para
e inteiro
,
Aplicamos com
e os respectivos
:
- Para
: então a inversa é . - Para
: então a inversa de é , multiplicando por dá . - Para
: então a inversa é .
Somando as três parcelas, obtemos a solução
:
Passo 9
Pequena verificação (conforto para a prova): em
temos
(ok). A derivada (usando produto e avaliando em
) dá
(ok). Isso aumenta a confiança de que o resultado está correto.