Integrar u_1' para obter u_1. A integral de \csc u é conhecida; uma forma conveniente é
\int \csc u\,du = \ln\left|\tan\frac{u}{2}\right| + C.
Aplicando com u=3x (portanto du=3dx) temos
\int \csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| + C.
Assim
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx = \frac{1}{36}\int \csc(3x)\,dx = \frac{1}{36}\cdot\frac{1}{3}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| + C = \frac{1}{108}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| + C.
Na construção de uma solução particular podemos desprezar a constante de integração (qualquer constante será absorvida pela solução homogênea), então tomamos
Essa integral não tem uma primitiva elementar simples expressável em termos de funções elementares padrão (envolve combinação de exponenciais e funções trigonométricas que leva a integrais não elementares). Por isso é comum deixar essa parte em forma integral. Novamente qualquer constante de integração pode ser ignorada aqui (absorvida por y_h). Portanto podemos manter
u_2(x)=-\frac{1}{36}\int^x e^{9t}\csc(3t)\,dt,
onde a integral é tomada em uma variável auxiliar t com limite inferior arbitrário (a escolha do limite apenas introduz uma constante que vai para y_h).
Passo 9
Montar a solução particular e, em seguida, a solução geral. Lembrando y_p=u_1y_1+u_2y_2 com y_1=1 e y_2=e^{-9x}: