Exemplo 2: Resolva a EDO
4 y^{\prime \prime}+36 y^{\prime}=\operatorname{cossec} 3 x
usando o método da variação de parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
4y''+36y'=\operatorname{cossec}3x
usando o método da variação de parâmetros.
Informações e pedidos que temos:
  • A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo do lado direito é \operatorname{cossec}3x, isto é, a cosecante de 3x (vou escrever como \csc(3x)).
  • Devemos aplicar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular e, então, a solução geral.

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão (coeficiente do y'' igual a 1) facilita aplicar fórmulas padrão. Dividindo tudo por 4 obtemos
y''+9y'=\frac{1}{4}\csc(3x).
É importante escrever assim porque as fórmulas de variação de parâmetros para equações de segunda ordem assumem a forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x).
Aqui P(x)=9, Q(x)=0 e R(x)=\dfrac{1}{4}\csc(3x).

Passo 3

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''+9y'=0.
Formamos a equação característica: \;r^2+9r=0\;. As raízes são
r(r+9)=0 \quad\Rightarrow\quad r_1=0,\; r_2=-9.
Portanto um sistema fundamental de soluções da homogênea é
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=e^{-9x}.
A solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cdot 1 + C_2 e^{-9x}.

Passo 4

Agora a variação de parâmetros: com duas soluções fundamentais y_1,y_2 de uma equação na forma padrão, procuramos uma solução particular na forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. As fórmulas padrão para u_1' e u_2' são
u_1'(x)=-\frac{R(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{R(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde W(x) é o wronskiano W=y_1y_2'-y_1'y_2. Vou explicar cada termo:
  • R(x) é o lado direito da forma padrão ( \dfrac{1}{4}\csc(3x) aqui).
  • O wronskiano mede a independência das soluções; se for diferente de zero podemos aplicar as fórmulas acima.

Passo 5

Calcular o wronskiano W para y_1=1 e y_2=e^{-9x}:
y_1'=0,\qquad y_2'=-9e^{-9x},
W=y_1y_2'-y_1'y_2 = 1\cdot(-9e^{-9x})-0\cdot e^{-9x} = -9e^{-9x}.
Note que W\neq0 para todo x, então podemos aplicar variação de parâmetros.

Passo 6

Aplicar as fórmulas para u_1' e u_2'. Lembrando R(x)=\dfrac{1}{4}\csc(3x):
u_1'(x)=-\frac{R(x)y_2(x)}{W(x)} = -\frac{\dfrac{1}{4}\csc(3x)\,e^{-9x}}{-9e^{-9x}}.
Os fatores e^{-9x} cancelam; simplificando obtemos
u_1'(x)=\frac{1}{36}\csc(3x).
Agora
u_2'(x)=\frac{R(x)y_1(x)}{W(x)}=\frac{\dfrac{1}{4}\csc(3x)\cdot 1}{-9e^{-9x}} = -\frac{1}{36}e^{9x}\csc(3x).
Resumo:
u_1'(x)=\frac{1}{36}\csc(3x),\qquad u_2'(x)=-\frac{1}{36}e^{9x}\csc(3x).

Passo 7

Integrar u_1' para obter u_1. A integral de \csc u é conhecida; uma forma conveniente é
\int \csc u\,du = \ln\left|\tan\frac{u}{2}\right| + C.
Aplicando com u=3x (portanto du=3dx) temos
\int \csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| + C.
Assim
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx = \frac{1}{36}\int \csc(3x)\,dx = \frac{1}{36}\cdot\frac{1}{3}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| + C = \frac{1}{108}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| + C.
Na construção de uma solução particular podemos desprezar a constante de integração (qualquer constante será absorvida pela solução homogênea), então tomamos
u_1(x)=\frac{1}{108}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right|.

Passo 8

Integrar u_2'. Temos
u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx = -\frac{1}{36}\int e^{9x}\csc(3x)\,dx.
Essa integral não tem uma primitiva elementar simples expressável em termos de funções elementares padrão (envolve combinação de exponenciais e funções trigonométricas que leva a integrais não elementares). Por isso é comum deixar essa parte em forma integral. Novamente qualquer constante de integração pode ser ignorada aqui (absorvida por y_h). Portanto podemos manter
u_2(x)=-\frac{1}{36}\int^x e^{9t}\csc(3t)\,dt,
onde a integral é tomada em uma variável auxiliar t com limite inferior arbitrário (a escolha do limite apenas introduz uma constante que vai para y_h).

Passo 9

Montar a solução particular e, em seguida, a solução geral. Lembrando y_p=u_1y_1+u_2y_2 com y_1=1 e y_2=e^{-9x}:
y_p(x)=u_1(x)\cdot 1 + u_2(x)\cdot e^{-9x} = \frac{1}{108}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| -\frac{1}{36}e^{-9x}\int^x e^{9t}\csc(3t)\,dt.
Finalmente a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 + C_2 e^{-9x} + \frac{1}{108}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right| -\frac{1}{36}e^{-9x}\int^x e^{9t}\csc(3t)\,dt.
Aqui C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Se for necessário, a integral pode ser deixada como está ou avaliada numericamente em pontos específicos.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-9x}+\frac{1}{108}\ln\left|\tan\frac{3x}{2}\right|-\frac{1}{36}e^{-9x}\int^{x}e^{9t}\csc(3t)\,dt

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