Demonstre as seguintes identidades:
\int_{V} \vec{\nabla} \varphi d V=\oint_{S} \varphi \hat{n} d a

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\int_{V} \vec{\nabla}\varphi\, dV=\oint_{S}\varphi\,\hat{n}\,da.
Informações e hipóteses implícitas que vou usar (não foi pedido que eu as confirme, então considero-as verdadeiras para a demonstração):
  • V é uma região do espaço com fronteira suave S=\partial V.
  • \hat{n} é o vetor normal externo à superfície S.
  • \varphi é um campo escalar com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de V (isto é, \varphi\in C^{1} em V fechado).
    A tarefa é provar que o vetor resultante da integral volumétrica do gradiente de \varphi coincide com a integral de superfície de \varphi vezes o vetor normal.

Passo 2

Vou lembrar duas definições/ferramentas fundamentais que vou usar — explicadas devagar, como você pediu.
Definição do gradiente:
  • Para um campo escalar \varphi(x,y,z), o gradiente \vec{\nabla}\varphi é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
\vec{\nabla}\varphi=(\partial_{x}\varphi,\;\partial_{y}\varphi,\;\partial_{z}\varphi),
onde \partial_{x}\varphi denota \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}, e assim por diante.
Teorema da divergência (também chamado de Teorema de Gauss):
  • Se \vec{F} é um campo vetorial com divergência contínua em V e \vec{F} é suficientemente regular até a fronteira S, então
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\,dV=\oint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,da.
Aqui \vec{\nabla}\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}, \hat{n} é o normal externo e da é o elemento de área da superfície.
Essas são as ferramentas principais. Agora vou aplicá-las de forma construtiva.

Passo 3

Estratégia prática (passo a passo): provar a identidade componente a componente usando o Teorema da divergência. Vou trabalhar com as componentes no referencial canônico \{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\} (ou \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}). Para cada índice i\in\{1,2,3\} defino o campo vetorial
\vec{F}_{i}=\varphi\,\vec{e}_{i}.
Explicando: \vec{F}_{i} é simplesmente o campo vetorial que tem a mesma função escalar \varphi em direção \vec{e}_{i} e zero nas outras direções.

Passo 4

Calculo a divergência de \vec{F}_{i}. Como \vec{e}_{i} é constante, vale a regra
\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{e}_{i})=\vec{e}_{i}\cdot\vec{\nabla}\varphi=\partial_{i}\varphi,
onde \partial_{i}\varphi é a derivada parcial de \varphi na coordenada x_{i} (por exemplo \partial_{1}\varphi=\partial_{x}\varphi). Isso é apenas a aplicação da regra do produto para divergência, mas simplifica porque \vec{e}_{i} não depende de x.
Agora aplico o Teorema da divergência ao campo \vec{F}_{i}:
\int_{V}\partial_{i}\varphi\,dV=\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{e}_{i})\,dV=\oint_{S}(\varphi\,\vec{e}_{i})\cdot\hat{n}\,da.
O produto escalar no lado direito é (\varphi\,\vec{e}_{i})\cdot\hat{n}=\varphi\,(\vec{e}_{i}\cdot\hat{n})=\varphi\,n_{i}, onde n_{i} é a i-ésima componente de \hat{n}. Logo obtemos, para cada i,
\int_{V}\partial_{i}\varphi\,dV=\oint_{S}\varphi\,n_{i}\,da.

Passo 5

Interpretação componente a componente: a igualdade do passo anterior mostra que a i-ésima componente do vetor \int_{V}\vec{\nabla}\varphi\,dV (que é \int_{V}\partial_{i}\varphi\,dV) é igual à i-ésima componente do vetor \oint_{S}\varphi\,\hat{n}\,da (que é \oint_{S}\varphi\,n_{i}\,da), para cada i\in\{1,2,3\}.
Sempre que duas grandezas vetoriais têm todas as componentes iguais, as grandezas vetoriais são iguais. Assim, as componentes coincidindo para i=1,2,3 implica que os vetores inteiros coincidem. Não vou repetir a fórmula final exatamente aqui (por causa da regra que você pediu), mas essa é a conclusão lógica imediata.

Passo 6

Exemplo numérico simples para fixar a intuição (passo construtivo):
  • Tome \varphi(x,y,z)=x e V o cubo unitário [0,1]\times[0,1]\times[0,1].
  • O gradiente é \vec{\nabla}\varphi=(1,0,0).
  • A integral volumétrica dá
\int_{V}\vec{\nabla}\varphi\,dV=(1,0,0)\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}dxdydz=(1,0,0)\cdot 1=(1,0,0).
  • A integral de superfície \oint_{S}\varphi\,\hat{n}\,da só tem contribuição nas faces com normal na direção x: na face x=1, \varphi=1 e \hat{n}=(1,0,0), área 1, dá (1,0,0); na face x=0, \varphi=0 dá zero; as outras faces têm \hat{n} ortogonal à x-direção e não contribuem para a componente x. Soma das contribuições = (1,0,0). Coincide com a integral volumétrica. Isso serve como checagem prática e ajuda a entender por que a identidade é natural.

Passo 7

Observações finais e hipóteses necessárias:
  • A demonstração usa o Teorema da divergência componente a componente; portanto é necessária a hipóteses de regularidade: \varphi\in C^{1} em V e S suave (ou condições equivalentes que garantam validade do teorema).
  • A interpretação físico-geométrica: a integral do campo de variação local ( \vec{\nabla}\varphi) sobre o volume é igual ao fluxo através da fronteira do “valor escalar transportado” \varphi na direção normal — uma versão vetorial de integrais por partes no espaço.

Resposta

\int_{V} \vec{\nabla}\varphi\, dV=\oint_{S} \varphi\,\hat{n}\, da

Exercícios relacionados