Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações e hipóteses implícitas que vou usar (não foi pedido que eu as confirme, então considero-as verdadeiras para a demonstração):
-
é uma região do espaço com fronteira suave . -
é o vetor normal externo à superfície . -
é um campo escalar com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de (isto é, em fechado).
A tarefa é provar que o vetor resultante da integral volumétrica do gradiente decoincide com a integral de superfície de vezes o vetor normal.
Passo 2
Vou lembrar duas definições/ferramentas fundamentais que vou usar — explicadas devagar, como você pediu.
Definição do gradiente:
- Para um campo escalar
, o gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
onde
denota
, e assim por diante.
Teorema da divergência (também chamado de Teorema de Gauss):
- Se
é um campo vetorial com divergência contínua em e é suficientemente regular até a fronteira , então
Aqui
é a divergência de
,
é o normal externo e
é o elemento de área da superfície.
Essas são as ferramentas principais. Agora vou aplicá-las de forma construtiva.
Passo 3
Estratégia prática (passo a passo): provar a identidade componente a componente usando o Teorema da divergência. Vou trabalhar com as componentes no referencial canônico
(ou
). Para cada índice
defino o campo vetorial
Explicando:
é simplesmente o campo vetorial que tem a mesma função escalar
em direção
e zero nas outras direções.
Passo 4
Calculo a divergência de
. Como
é constante, vale a regra
onde
é a derivada parcial de
na coordenada
(por exemplo
). Isso é apenas a aplicação da regra do produto para divergência, mas simplifica porque
não depende de
.
Agora aplico o Teorema da divergência ao campo
:
O produto escalar no lado direito é
, onde
é a
-ésima componente de
. Logo obtemos, para cada
,
Passo 5
Interpretação componente a componente: a igualdade do passo anterior mostra que a
-ésima componente do vetor
(que é
) é igual à
-ésima componente do vetor
(que é
), para cada
.
Sempre que duas grandezas vetoriais têm todas as componentes iguais, as grandezas vetoriais são iguais. Assim, as componentes coincidindo para
implica que os vetores inteiros coincidem. Não vou repetir a fórmula final exatamente aqui (por causa da regra que você pediu), mas essa é a conclusão lógica imediata.
Passo 6
Exemplo numérico simples para fixar a intuição (passo construtivo):
- Tome
e o cubo unitário . - O gradiente é
. - A integral volumétrica dá
- A integral de superfície
só tem contribuição nas faces com normal na direção : na face , e , área , dá ; na face , dá zero; as outras faces têm ortogonal à -direção e não contribuem para a componente . Soma das contribuições = . Coincide com a integral volumétrica. Isso serve como checagem prática e ajuda a entender por que a identidade é natural.
Passo 7
Observações finais e hipóteses necessárias:
- A demonstração usa o Teorema da divergência componente a componente; portanto é necessária a hipóteses de regularidade:
em e suave (ou condições equivalentes que garantam validade do teorema). - A interpretação físico-geométrica: a integral do campo de variação local (
) sobre o volume é igual ao fluxo através da fronteira do “valor escalar transportado” na direção normal — uma versão vetorial de integrais por partes no espaço.