Demonstre as seguintes identidades:
\int_{V} \vec{\nabla} \times \vec{F} d V=\oint_{S} \hat{n} \times \vec{F} d a

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pede-se demonstrar a identidade
\int_{V} \vec{\nabla}\times\vec{F}\, dV=\oint_{S} \hat{n}\times\vec{F}\, d a,
onde V é um volume com fronteira suave S e \hat{n} é o versor normal exterior à superfície S.
  • Informações relevantes dadas pelo enunciado:
    • Há um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave (deriváveis) definido em V e nas vizinhanças de S.
    • A notação \int_{V} indica integral volume em relação a dV.
    • A notação \oint_{S} indica integral de superfície sobre S em relação a d a (elemento de área), com \hat{n} indicando a normal exterior.

Passo 2

Lemas e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Teorema da divergência (de Gauss): para um campo vetorial suficientemente suave \vec{G},
\int_{V} \vec{\nabla}\cdot\vec{G}\, dV=\oint_{S} \hat{n}\cdot\vec{G}\, d a.
Explicação: o teorema relaciona a soma das fontes internas de \vec{G} (a divergência integrada sobre o volume) com o fluxo de \vec{G} saindo pelo contorno S.
  • Produto vetorial com um vetor constante \hat{e}_i (vetor unitário) tem propriedade simples: \vec{\nabla}\times\hat{e}_i=\vec{0} porque \hat{e}_i é constante no espaço (não varia com x,y,z).
  • Identidade vetorial útil (forma prática que usaremos): para cada vetor unitário \hat{e}_i (componentes padrão i=1,2,3),
\vec{\nabla}\cdot\bigl(\vec{F}\times\hat{e}_i\bigr)=\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F}).
Explicação do que cada símbolo significa:
  • \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) com F_j=F_j(x,y,z) funções suficientemente suaves.
  • \hat{e}_i é o vetor unitário na direção i (por exemplo \hat{e}_1=(1,0,0)).
  • O lado direito \hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F}) é a i-ésima componente do rotor (curl) de \vec{F}.
    Essa identidade é um caso especial e simples da identidade geral \vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B}); aqui \vec{B}=\hat{e}_i é constante, então \vec{\nabla}\times\hat{e}_i=\vec{0} e resulta a forma acima.

Passo 3

Demonstração componente a componente (maneira direta e concreta):
  • Escrevemos \vec{F} em componentes:
\vec{F}=(F_1,F_2,F_3).
  • Tomemos \hat{e}_1=(1,0,0). Calculamos \vec{F}\times\hat{e}_1:
\vec{F}\times\hat{e}_1=(0,F_3,-F_2).
Agora calculamos a divergência desse campo:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_1)=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(F_3)+\frac{\partial}{\partial z}(-F_2) =\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
Mas a componente 1 (ou x) do rotor é exatamente
(\vec{\nabla}\times\vec{F})_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
Logo
\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_1)=(\vec{\nabla}\times\vec{F})_1=\hat{e}_1\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F}).
  • De forma totalmente análoga, para \hat{e}_2=(0,1,0) e \hat{e}_3=(0,0,1) obtém-se
\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_2)=(\vec{\nabla}\times\vec{F})_2,\qquad \vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_3)=(\vec{\nabla}\times\vec{F})_3.
  • Conclusão deste passo: para cada índice i,
\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_i)=\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F}).

Passo 4

Aplicação do Teorema da divergência componente a componente:
  • Integramos ambos os lados da igualdade do passo anterior sobre o volume V:
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_i)\, dV=\int_{V}\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})\, dV.
  • Pelo Teorema da divergência, o lado esquerdo é igual ao fluxo através de S:
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_i)\, dV=\oint_{S}\hat{n}\cdot\bigl(\vec{F}\times\hat{e}_i\bigr)\, d a.
  • Portanto temos, para cada i,
\int_{V}\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})\, dV=\oint_{S}\hat{n}\cdot\bigl(\vec{F}\times\hat{e}_i\bigr)\, d a.

Passo 5

Reescrever o integrando de superfície usando produto triplo (propriedade cíclica):
  • Propriedade cíclica do produto misto (produto escalar de um produto vetorial): para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).
Isto é apenas a identidade de cyclicidade do produto misto.
  • Aplicando com \vec{a}=\hat{e}_i, \vec{b}=\hat{n}, \vec{c}=\vec{F}, obtemos
\hat{n}\cdot(\vec{F}\times\hat{e}_i)=\hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{F}).
  • Substituindo na igualdade do passo anterior:
\int_{V}\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})\, dV=\oint_{S}\hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{F})\, d a.

Passo 6

Montagem final: obter a igualdade vetorial
  • A igualdade do passo 5 é válida componente a componente (isto é, para cada i=1,2,3):
\int_{V}\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})\, dV=\oint_{S}\hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{F})\, d a.
  • Uma igualdade que vale para as três componentes de dois vetores implica a igualdade vetorial desses vetores integrados. Assim concluímos
\int_{V}\vec{\nabla}\times\vec{F}\, dV=\oint_{S}\hat{n}\times\vec{F}\, d a.
  • Comentário final (didático e encorajador): a ideia é simples — transformar cada componente do integral do rotor em um integral de divergência usando um produto vetorial com um vetor constante, aplicar o teorema da divergência e voltar a montar o vetor pela propriedade cíclica do produto misto. Se fizer essa sequência passo a passo numa prova, é bem aceito e direto.

Resposta

\int_{V} \vec{\nabla}\times\vec{F}\, dV=\oint_{S} \hat{n}\times\vec{F}\, d a

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