Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas:
- Pede-se demonstrar a identidade
onde
é um volume com fronteira suave
e
é o versor normal exterior à superfície
.
- Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um campo vetorial
suficientemente suave (deriváveis) definido em e nas vizinhanças de . - A notação
indica integral volume em relação a . - A notação
indica integral de superfície sobre em relação a (elemento de área), com indicando a normal exterior.
- Há um campo vetorial
Passo 2
Lemas e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Teorema da divergência (de Gauss): para um campo vetorial suficientemente suave
,
Explicação: o teorema relaciona a soma das fontes internas de
(a divergência integrada sobre o volume) com o fluxo de
saindo pelo contorno
.
-
Produto vetorial com um vetor constante
(vetor unitário) tem propriedade simples: porque é constante no espaço (não varia com ). -
Identidade vetorial útil (forma prática que usaremos): para cada vetor unitário
(componentes padrão ),
Explicação do que cada símbolo significa:
-
com funções suficientemente suaves. -
é o vetor unitário na direção (por exemplo ). - O lado direito
é a -ésima componente do rotor (curl) de .
Essa identidade é um caso especial e simples da identidade geral; aqui é constante, então e resulta a forma acima.
Passo 3
Demonstração componente a componente (maneira direta e concreta):
- Escrevemos
em componentes:
- Tomemos
. Calculamos :
Agora calculamos a divergência desse campo:
Mas a componente
(ou
) do rotor é exatamente
Logo
- De forma totalmente análoga, para
e obtém-se
- Conclusão deste passo: para cada índice
,
Passo 4
Aplicação do Teorema da divergência componente a componente:
- Integramos ambos os lados da igualdade do passo anterior sobre o volume
:
- Pelo Teorema da divergência, o lado esquerdo é igual ao fluxo através de
:
- Portanto temos, para cada
,
Passo 5
Reescrever o integrando de superfície usando produto triplo (propriedade cíclica):
- Propriedade cíclica do produto misto (produto escalar de um produto vetorial): para quaisquer vetores
,
Isto é apenas a identidade de cyclicidade do produto misto.
- Aplicando com
, , , obtemos
- Substituindo na igualdade do passo anterior:
Passo 6
Montagem final: obter a igualdade vetorial
- A igualdade do passo 5 é válida componente a componente (isto é, para cada
):
- Uma igualdade que vale para as três componentes de dois vetores implica a igualdade vetorial desses vetores integrados. Assim concluímos
- Comentário final (didático e encorajador): a ideia é simples — transformar cada componente do integral do rotor em um integral de divergência usando um produto vetorial com um vetor constante, aplicar o teorema da divergência e voltar a montar o vetor pela propriedade cíclica do produto misto. Se fizer essa sequência passo a passo numa prova, é bem aceito e direto.