Demonstre as seguintes identidades supondo que S e V satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
integral duplaS a cdot n d s=0, onde a é um vetor constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de superfície de um vetor constante vec a sobre uma superfície fechada S é zero. Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência).

Passo 2

O Teorema de Gauss diz que para um campo vetorial diferenciável vec F definido em V e sua superfície limite fechada S:
integral duplaS vec F cdot vec n,ds = integral triplaV nabla cdot vec F ,dV

Passo 3

No nosso caso, escolhemos vec F = vec a, sendo vec a constante. O divergente de um campo constante é zero, isto é:
nabla cdot vec a = 0

Passo 4

Aplicando o Teorema de Gauss com vec F = vec a, temos:
integral duplaS vec a cdot vec n,ds = integral triplaV nabla cdot vec a ,dV = integral triplaV 0 ,dV = 0

Resposta

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