Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função $ f(x) = \sin(x) - \cos(x) $ e uma equação diferencial $ \frac{df}{dx} + f(x) = 2 \sin(x) $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função $ f(x) $ é uma solução válida para essa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $ e a derivada de $ -\cos(x) $ é $ \sin(x) $ (porque a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $, então o menos fica positivo). Então:
Passo 3
Agora que temos a derivada de $ f(x) $, vamos somar ela com a própria função $ f(x) $. Ou seja, vamos calcular $ \frac{df}{dx} + f(x) $:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Observe que $ \cos(x) $ e $ -\cos(x) $ se cancelam, e $ \sin(x) + \sin(x) $ dá $ 2\sin(x) $:
Passo 5
Agora, vamos comparar o resultado que obtivemos com o lado direito da equação diferencial original, que também é $ 2\sin(x) $. Vimos que:
Isso significa que a função $ f(x) = \sin(x) - \cos(x) $ satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
Sim, a função $ f(x) = \sin(x) - \cos(x) $ é uma solução válida da equação diferencial $ \frac{df}{dx} + f(x) = 2 \sin(x) $.