Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial.
f(x)=sen(x)-cos (x) ; dfdx+f(x)=2 sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função $ f(x) = \sin(x) - \cos(x) $ e uma equação diferencial $ \frac{df}{dx} + f(x) = 2 \sin(x) $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função $ f(x) $ é uma solução válida para essa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $ e a derivada de $ -\cos(x) $ é $ \sin(x) $ (porque a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $, então o menos fica positivo). Então:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada de $ f(x) $, vamos somar ela com a própria função $ f(x) $. Ou seja, vamos calcular $ \frac{df}{dx} + f(x) $:
f(x)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Observe que $ \cos(x) $ e $ -\cos(x) $ se cancelam, e $ \sin(x) + \sin(x) $ dá $ 2\sin(x) $:
cos(x)

Passo 5

Agora, vamos comparar o resultado que obtivemos com o lado direito da equação diferencial original, que também é $ 2\sin(x) $. Vimos que:
2sin(x)
Isso significa que a função $ f(x) = \sin(x) - \cos(x) $ satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

Sim, a função $ f(x) = \sin(x) - \cos(x) $ é uma solução válida da equação diferencial $ \frac{df}{dx} + f(x) = 2 \sin(x) $.

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