A lei de Gauss do eletromagnetismo afirma que o fluxo do campo elétrico E em uma superfície fechada S é relacionado com a carga elétrica por meio da seguinte equação
integral duplaS E cdot d a=Qvarepsilon0
em outras palavras o fluxo do campo elétrico na superfície S é proporcional à carga que está contida na superfície.
Use (1) para achar a carga contida no hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= a^2, z >= 0, se o campo elétrico for E(x, y, z)=(x, y, 2 z). Encontre também a carga dentro do cubo de vértices ( pm 1, pm 1, pm 1) se o campo elétrico for E(x, y, z)=(x, y, z)

Passo 1

Neste exercício a gente vai usar a lei de Gauss integral duplaS Ecdot da = Q/varepsilon0 junto com o teorema da divergência para transformar o fluxo de E em integral de volume, facilitando o cálculo para hemisfério e cubo.

Passo 2

No hemisfério x^2+y^2+z^2<= a^2, z>=0, o campo é E(x,y,z)=(x,y,2z). Sua divergência é
nablacdotE = 1 + 1 + 2 = 4
O volume do hemisfério é
Vrm hemi = tfrac12cdottfrac43pi a^3 = tfrac23pi a^3
Aplicando o teorema da divergência:
Qrm hemi = varepsilon0 integralV (nablacdotE),dV = 4,varepsilon0,Vrm hemi = 4,varepsilon0cdottfrac23pi a^3 = tfrac83pi a^3,varepsilon0

Passo 3

No cubo com vértices em (pm1,pm1,pm1) e campo E(x,y,z)=(x,y,z), a divergência é
nablacdotE = 1 + 1 + 1 = 3
O volume do cubo é
Vrm cubo = (2)^3 = 8
Então
Qrm cubo = varepsilon0 integralV (nablacdotE),dV = 3,varepsilon0,Vrm cubo = 3times8,varepsilon0 = 24,varepsilon0

Resposta

Carga no hemisfério: Q = tfrac83pi a^3,varepsilon0. Carga no cubo: Q = 24,varepsilon0.

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