Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo
S onde z=raiz1-x^2-y^2 consiste na união do hemisfério x^2+y^2 <= 1 e no disco x y no plano .

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=(x,r,;y,r,;z,r) onde r=raizx^2+y^2+z^2, pela superfície S que é o hemisfério z=raiz1-x^2-y^2 mais o disco x^2+y^2<=1 no plano z=0. Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que diz que o fluxo de F em S é igual ao integral de volume do divergente de F sobre o meio-bólide de raio 1.

Passo 2

Precisamos calcular o divergente de F. Como F=(x,r,;y,r,;z,r) com r=raizx^2+y^2+z^2, temos
nablacdot F=partialpartial x(x,r)+partialpartial y(y,r)+partialpartial z(z,r)
Calculando cada termo: partialx(xr)=r+x^2/r, e similarmente para y e z. Somando dá 3r+(x^2+y^2+z^2)/r=3r+r=4r. Logo, o fluxo é
integral duplaS Fcdot d S=integral triplaV(nablacdot F),dV=integral triplaV4r,dV
No hemisfério de raio 1, em coordenadas esféricas (r,phi,theta) temos rin[0,1], phiin[0,pi/2], thetain[0,2pi] e dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. A integral vira
$$\int_{\theta=0}{2\pi}!\int_{\phi=0}{\pi/2}!\int_{r=0}{1}4r,(r2\sin\phi),dr,d\phi,d\theta
=\Bigl(\int_0{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_0{\pi/2}\sin\phi,d\phi\Bigr)\Bigl(\int_0^1 4r^3,dr\Bigr).$$
Calculando: integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/2!integralr=0^14r,(r^2sinphi),dr,dphi,dtheta =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pi/2sinphi,dphir)l(integral0^1 4r^3,drr), integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2sinphi,dphi=1, então o fluxo é

Resposta

2pi

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