Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo
onde
consiste na união do hemisfério
e no disco
no plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
onde
, pela superfície
que é o hemisfério
mais o disco
no plano
. Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que diz que o fluxo de
em
é igual ao integral de volume do divergente de
sobre o meio-bólide de raio 1.
Passo 2
Precisamos calcular o divergente de
. Como
com
, temos
Calculando cada termo:
No hemisfério de raio 1, em coordenadas esféricas
temos
,
,
e
. A integral vira
$$\int_{\theta=0}{2\pi}!\int_{\phi=0}{\pi/2}!\int_{r=0}{1}4r,(r2\sin\phi),dr,d\phi,d\theta
=\Bigl(\int_0{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_0{\pi/2}\sin\phi,d\phi\Bigr)\Bigl(\int_0^1 4r^3,dr\Bigr).$$
Calculando: ,
,
, então o fluxo é
Calculando: