Demonstre as seguintes identidades supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
, onde
é a derivada direcional de
na direção do normal
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema de Gauss sobre a região
de fronteira
e com
suficientemente diferenciável, vale a igualdade entre a integral de superfície da derivada normal de
e a integral de volume do seu laplaciano. Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Pelo Teorema de Gauss temos
Passo 3
Note que
e que a componente normal de
é exatamente a derivada direcional de
na normal, ou seja
Substituindo no Teorema de Gauss, obtemos