Demonstre as seguintes identidades supondo que S e V satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
integral duplaS Dn f d s=integral triplaV nabla^2 f d V, onde Dn f é a derivada direcional de f na direção do normal

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema de Gauss sobre a região V de fronteira S e com f suficientemente diferenciável, vale a igualdade entre a integral de superfície da derivada normal de f e a integral de volume do seu laplaciano. Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = nabla f
Pelo Teorema de Gauss temos
integral duplaS Fcdotn,d s ;=;integral triplaV nablacdotF,d V

Passo 3

Note que
nablacdotF = nablacdot(nabla f) = nabla^2f,
e que a componente normal de F é exatamente a derivada direcional de f na normal, ou seja
Fcdotn = (nabla f)cdotn = Dnf
Substituindo no Teorema de Gauss, obtemos
integral duplaSDnf,d s ;=;integral triplaVnabla^2f,d V

Resposta

integral duplaSDnf,d s ;=;integral triplaVnabla^2f,d V

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