Uma curva
é dita planar se sua imagem está contida em um plano.
(a) Prove que, se
é planar, então existe um vetor
tal que
e
são sempre perpendiculares.
Resolução: O vetor normal ao plano no qual
está contida satisfaz a propriedade desejada.
(b) Por outro lado, suponha que existe um vetor
tal que
e
são sempre perpendiculares. Mostre que
é planar.
Dica: Para
, escreva a condição de perperdicularidade:
e integre os dois lados dessa equação.
(a) Prove que, se
Resolução: O vetor normal ao plano no qual
(b) Por outro lado, suponha que existe um vetor
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “
é planar” e “existe um vetor constante
ortogonal a todas as tangentes
”. O conteúdo gira em torno de curvas em
, produto escalar e integração de derivadas de funções escalares.
Passo 2
(a) Suponha que a imagem de
esteja contida num plano
. Por definição de plano em
, existe um vetor normal
tal que
para alguma constante
. Como
para todo
, seu vetor tangente
fica sempre dentro de
e, portanto,
para todo
. Basta então escolher
.
Passo 3
(b) Agora, suponha que exista
tal que
para todo
. Defina a função escalar
Então
Integrando em qualquer intervalo
obtemos
Ou seja,
para todo
. Isso mostra que a imagem de
está contida no plano
logo
é planar.
Resposta
(a) Basta escolher
como vetor normal ao plano que contém
.
(b) Da condição segue que
é constante, mostrando que
fica em um plano normal a
.
(b) Da condição