Uma curva gamma:[a, b] R^3 é dita planar se sua imagem está contida em um plano.
(a) Prove que, se gamma é planar, então existe um vetor v tal que gamma^prime(t) e v são sempre perpendiculares.
Resolução: O vetor normal ao plano no qual gamma está contida satisfaz a propriedade desejada.
(b) Por outro lado, suponha que existe um vetor v tal que gamma^prime(t) e v são sempre perpendiculares. Mostre que gamma é planar.
Dica: Para gamma(t)=(x(t), y(t), z(t)), escreva a condição de perperdicularidade: x^prime(t) v1+y^prime(t) v2+z^prime(t) v3=0 e integre os dois lados dessa equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “ gamma é planar” e “existe um vetor constante vec v ortogonal a todas as tangentes gamma'(t)”. O conteúdo gira em torno de curvas em R^3, produto escalar e integração de derivadas de funções escalares.

Passo 2

(a) Suponha que a imagem de gamma esteja contida num plano P. Por definição de plano em R^3, existe um vetor normal vec nneqvec0 tal que
P = , xinR^3 mid xcdotvec n = d
para alguma constante d. Como gamma(t)in P para todo t, seu vetor tangente gamma'(t) fica sempre dentro de P e, portanto,
gamma'(t)cdotvec n = 0
para todo t. Basta então escolher vec v = vec n.

Passo 3

(b) Agora, suponha que exista vec v=(v1,v2,v3) tal que
gamma'(t)cdotvec v = x'(t)v1 + y'(t)v2 + z'(t)v3 = 0
para todo t. Defina a função escalar
f(t) = gamma(t)cdotvec v = x(t)v1 + y(t)v2 + z(t)v3
Então
f'(t) = gamma'(t)cdotvec v = 0
Integrando em qualquer intervalo [t0,t] obtemos
f(t) - f(t0) = integralt0^t f'(s),ds = 0 Longrightarrow f(t) = f(t0) = constante
Ou seja,
gamma(t)cdotvec v = C
para todo t. Isso mostra que a imagem de gamma está contida no plano
, xinR^3 mid xcdotvec v = C,
logo gamma é planar.

Resposta

(a) Basta escolher vec v como vetor normal ao plano que contém gamma.
(b) Da condição gamma'(t)cdotvec v=0 segue que gamma(t)cdotvec v é constante, mostrando que gamma fica em um plano normal a vec v.

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