Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integrala^b(x-a) d x=(b-a)^22

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de integral como limite de soma de Riemann, que
integrala^b(x - a),dx = (b - a)^22
O conteúdo aqui é integral definida via soma de Riemann, e vamos precisar escolher uma partição de [a,b], escrever a soma de Riemann correspondente e tomar o limite conforme o número de subintervalos cresce.

Passo 2

Escolhemos uma partição uniforme de [a,b] em n subintervalos de comprimento
De<a x = b - an
Marcamos os pontos
xi = a + i,De<a x, i = 0,1,2,dots,n
Para simplificar vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo como pontos de amostragem.

Passo 3

A soma de Riemann usando os pontos xi (direitos) é
Sn = sumi=1^n f(xi),De<a x = sumi=1^n l(xi - ar),De<a x
Como xi - a = (a + i,De<a x) - a = i,De<a x, temos
Sn = sumi=1^n l(i,De<a xr),De<a x = De<a x^2 sumi=1^n i

Passo 4

Sabemos que
sumi=1^n i = n(n+1)2
Logo
Sn = De<a x^2 ,n(n+1)2 = (b - a)^2n^2,n(n+1)2 = (b - a)^22,n+1n

Passo 5

Fazendo n to infty, o fator n+1n tende a 1, portanto
integrala^b(x - a),dx = limntoinfty Sn = (b - a)^22,limntoinftyn+1n = (b - a)^22

Resposta

integrala^b(x - a),dx = (b - a)^22

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