8- Uma massa de 8 kg é presa a uma mola pendurada no teto e é solta até o repouso. Suponha que a constante da mola seja 40 N / m e a constante de amortecimento seja 3 N s / m. No instante t=0, uma força externa de F(t)=2 sen(2 t+pi / 4) N é aplicada ao sistema. Determine a amplitude e a frequência da solução em regime estacionário.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força externa senoidal. Temos massa m=8,kg, constante da mola k=40,N/m, coeficiente de amortecimento c=3,N·s/m e força externa
F(t)=2sinl(2t+tfracpi4r),N
Queremos a amplitude e a frequência da oscilação em regime estacionário (solução particular).

Passo 2

Em regime estacionário buscamos uma solução particular do tipo
xp(t)=Asinl(omega t+tfracpi4+de<ar),
onde omega=2,rad/s é a frequência angular da força. Pelo método fasorial a amplitude A satisfaz
A=F0l|(k-momega^2)+i(comega)r| =F0raiz(k-momega^2)^2+(comega)^2,
com F0=2.

Passo 3

Calculamos os termos do denominador:
k-momega^2 = 40 - 8cdot(2)^2 = 40 - 32 = 8,
comega = 3cdot2 = 6

Passo 4

Substituindo em
A=2raiz8^2+6^2 =2raiz64+36 =210 =0,2 m

Passo 5

Em regime estacionário a oscilação ocorre na mesma frequência da força externa, ou seja, frequência angular omega=2,rad/s. Em hertz isso dá
f=omega2pi=22pi=1piapprox0,318 Hz

Resposta

Amplitude =0,2 m
Frequência angular omega=2,rad/s (ou f=1/piapprox0,318,Hz)

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